Maths de terminale : exercice de complexes avec transformation du plan. Formes trigonométrique et algébrique, cercle, alignement de points.
Exercice N°500 :
Exercice N°500 :
On pose z = −√(2 + √2) − i√(2 − √2).
1) Quelle est la forme algébrique de z2 ?
2) Quelle est la forme trigonométrique de z2 ?
3) Quelle est la forme trigonométrique de z ?
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; →u ; →v) d’unité graphique 2 cm.
On désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1.
Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z ≠ 1, associe le point M ‘ d’affixe z ‘ tel que :
z ‘ = (1 – z)/( –z – 1)
avec –z conjugué de z.
Soit C le point d’affixe zC = −2 + i.
4) Calculer l’affixe zC ‘ du point C ‘ image de C par la transformation f, et placer les points C et C ‘ dans le plan complexe.
5) Montrer que le point C ‘ appartient au cercle Γ de centre O et de rayon 1.
6) Montrer que les points A, C et C ‘ sont alignés.
7) Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M ‘ appartient au cercle Γ.
8) Montrer que, pour tout nombre complexe z ≠ 1,
(z ‘ – 1)/(–z – 1) est un réel.
Que peut-on en déduire pour les points A, M et M ‘ ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, complexes, transformation, plan.
Exercice précédent : Complexes – Fonction, invariant, parties, ensembles – Terminale
