Exercice de maths de terminale de complexe, degré trois, géométrie, algébrique, exponentielle, vecteurs, angle, droites perpendiculaires.
Exercice N°501 :
Exercice N°501 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; →u , →v) (unité : 2 cm).
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π/2.
Pour tout point M, on convient de noter zM son affixe.
On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.
Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (1) :
z3 + 8 = 0.
1) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que
z3 + 8 = (z + 2)(az2 + bz + c), pour tout complexe z.
2) Résoudre l’équation (1). On donnera les solutions sous forme algébrique.
3) Écrire les solutions de l’équation (1) sous forme exponentielle.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives −2, 1−i√3 et 1+i√3, le point D milieu de [OB].
4) Écrire sous forme exponentielle le nombre (zC − zA)/(zB − zA).
En déduire la nature du triangle ABC.
On considère le point L défini par →AL = →OD.
5) Calculer l’affixe du point L.
6) Écrire zL/zD sous forme exponentielle.
7) En déduire que les droites (OL) et (AL) sont perpendiculaires.
8) Prouver que le point L est sur le cercle de diamètre [AO].
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : complexe, degré trois, géométrie.
Exercice précédent : Complexes – Formes, fonction, affixes, cercle, points – Terminale