Complexes – Degré trois, triangle, vecteurs, droite, cercle – Terminale

mai 12th, 2021

Category: Complexes, Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale

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Exercice de maths de terminale de complexe, degré trois, géométrie, algébrique, exponentielle, vecteurs, angle, droites perpendiculaires.

Exercice N°501 :

Complexes, degré trois, géométrie, triangle, vecteurs, droite, cercle, terminale

Exercice N°501 :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v) (unité : 2 cm).

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π/2.
Pour tout point M, on convient de noter zM son affixe.

On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (1) :
z3 + 8 = 0.

1) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que
z3 + 8 = (z + 2)(az2 + bz + c), pour tout complexe z.

2) Résoudre l’équation (1). On donnera les solutions sous forme algébrique.

3) Écrire les solutions de l’équation (1) sous forme exponentielle.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives −2, 1−i√3 et 1+i√3, le point D milieu de [OB].

4) Écrire sous forme exponentielle le nombre (zC − zA)/(zB − zA).
En déduire la nature du triangle ABC.

On considère le point L défini par AL = OD.
5) Calculer l’affixe du point L.

6) Écrire zL/zD sous forme exponentielle.

7) En déduire que les droites (OL) et (AL) sont perpendiculaires.

8) Prouver que le point L est sur le cercle de diamètre [AO].

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : complexe, degré trois, géométrie.

Exercice précédent : Complexes – Formes, fonction, affixes, cercle, points – Terminale

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