Maths de terminale : exercice avec une suite géométrique complexe, triangles, cercle, rayon, ligne brisée, module, distance.
Exercice N°505 :
Exercice N°505 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; →u ; →v). On prendra pour unité graphique 5 cm. On pose z0 = 2 et,
pour tout entier naturel n;
zn+1 = (1 + i)/2 × zn.
On note An le point du plan d’affixe zn.
1) Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.
Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn|.
2) Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que,
pour tout entier naturel n,
un = 2(1/√2)n.
3) A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
4) Établir que, pour tout entier naturel n,
(zn+1 – zn)/zn+1 = i.
En déduire la nature du triangle OAnAn+1.
Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…..An-1An.
On a ainsi :
ln = A0A1 + A2A2 + … + An-1An.
5) Exprimer ln, en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ln) ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, suite géométrique, complexe.
Exercice précédent : Complexes – Calculs, équations, ensembles, modules – Terminale
