frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice de maths de terminale de nombres complexes avec équation, angles, triangle, affixe, point, milieu, segment, fraction, alignement.

Exercice N°503 :

Exercice N°503 :

Le plan complexe est rapporté à un repère (O ; ^→u ; ^→v) orthonormal direct.
À tout point E du plan d’affixe F non nulle, on associe les points M’ et M’ ‘ d’affixes respectives z’ et z’ ‘ définies par
z’ = iz
et
z’ ‘ = z².

Cas particulier :

Soient A le point d’affixe a = 2 − i et B le point d’affixe b = 2 + i.
On appelle A’ et A’ ‘ les points associés à A.
On appelle B’ et B’ ‘ les points associés à B.

1) Déterminer, dans l’ensemble des complexes C, les solutions de l’équation (E) ∶
z² − 4z + 5 = 0.

2) Déterminer sous forme algébrique, les affixes a’ et a’ ‘ des points A’ et A’ ‘.
Prouver que A est le milieu du segment [A’A’ ‘].

3) Déterminer sous forme algébrique, les affixes b’ et b’ ‘ des points B’ et B’ ‘.

4) Calculer, sous sa forme algébrique, le quotient
^{( b – b’ ‘ )}/_{( b – b’ )}.

5) En déduire la nature du triangle BB’B’ ‘.
Représenter sur une figure, les points A, A’, A’ ‘, B, B’ et B’ ‘.

Cas général :

M est un point quelconque d’affixe z non nulle. N est le point d’affixe ^–z (« barre » veut dire « conjugué »).
N’ et N’ ‘ sont les points associés au point N.
On pose z = x + iy, où x ∈ R et y ∈ R.

6) Prouver que, si z ≠ 1, l’angle ^(^→MM’ ; ^→MM’ ‘) a pour mesure un argument de ^{(z – 1)}/_{(i – 1)}.

7) Déterminer une relation entre x et y pour que ^{(z – 1)}/_{(i – 1)} soit réel.

8) Montrer que M, M’ et M’ ‘ sont alignés si et seulement si y = −x + 1 pour tout z ∈ C.

Question toute trace de recherche :
On suppose z ≠ 1 et y = −x + 1.
9) Prouver que NN’ N’ ‘ est un triangle rectangle en N.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : complexes, équation, angles, triangle.

Exercice précédent : Complexes – Suite, géometrie, angles, points, somme – Terminale