frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice de maths sur les limites de suites de première avec rang, inégalités, forme explicite, puissance, fraction, valeur absolue.

Exercice N°821 :

Exercice N°821 :

Première partie :

Soit (u_n) une suite définie sur N par :
u_n = ¹⁰⁶/_{(n + 1)}.

1) Donner les valeurs des premiers termes u₀, u₁, u₂, puis de u₁₀, u₁₀₀, u_(10⁴) et u_(10⁶).

2) Déterminer à partir de quel rang n, on a
u_n ≤ ¹/₁₀₀.

3) Déterminer à partir de quel rang n, on a
u_n ≤ 10^-6.

4) Soit p un entier naturel quelconque. Déterminer à partir de quel rang n, on a
u_n ≤ 10^-p.

5) À l’aide de la question précédente, conclure quand à la limite de (u_n).

Seconde partie :

Soit la suite (v_n) définie sur N par :
v_n = ^{(n – 2)}/_{(n + 2)}.

6) Démontrer, que pour tout entier n, v_n – 1 = ^-4/_{(n + 2)}.

7) Déterminer à partir de quel rang n, on a
| v_n – 1 | ≤ 10^-3.

8) Déterminer à partir de quel rang n, on a
| v_n – 1 | ≤ 10^-9.

9) Soit q un entier naturel quelconque. Déterminer à partir de quel rang n, on a
| v_n – 1 | ≤ 10^-q.

10) À l’aide de la question précédente, conclure quand à la limite de (v_n).

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : limites de suites, première.

Exercice précédent : Limites de Suites – Calculs de termes, conjectures, variation – Première