Suites – Somme, géométrique, récurrence, limite – Terminale

novembre 9th, 2020

Category: Limites, Suites, Terminale

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Exercice de maths de terminale de suite avec somme géométrique, limite, auxiliaire, récurrence, premier terme, raison, suite constante.

Exercice N°174 :

Suite, somme géométrique, limite, récurrence, terminale

Exercice N°174 :

Soit la suite (un) définie par u0 ∈ R et la relation
un+1 = (1/10)un + 1/2.

1) Dans cette question uniquement, on suppose que
u0 = 5/9.
Démontrer par récurrence que la suite (un) est une suite constante.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que
u0 = 0.

2) Calculer u1, u2 et u3.

Soit la suite (vn) définie par la relation
vn = un5/9.
3) Démontrer que cette suite est une suite géométrique dont on précisera la raison.

4) Exprimer vn en fonction de n.
En déduire l’expression de un en fonction de n.

5) Calculer lim(n→+∞) un.

La suite (Sn) est définie sur N par
Sn = ( 5/9 ) x 1,11…1
avec n chiffres égaux à 1.

6) En remarquant que
Sn = ( 5/9 )[ 1 + 1/10 + … + (1/10)n-1 ],
montrer que
Sn = ( 50/81 )[ 1 – (1/10)n ].

7) En déduire que la limite de la suite (Sn) est un nombre rationnel (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Mots-clés de l’exercice : suite, somme géométrique, limite.

Exercice précédent : Suites – Graphique, Récurrence, Algorithme, Arithmétique- Terminale

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