frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice de maths de terminale de suite avec somme géométrique, limite, auxiliaire, récurrence, premier terme, raison, suite constante.

Exercice N°174 :

Exercice N°174 :

Soit la suite (u_n) définie par u₀ ∈ R et la relation
u_n+1 = (¹/₁₀)u_n + ¹/₂.

1) Dans cette question uniquement, on suppose que
u₀ = ⁵/₉.
Démontrer par récurrence que la suite (u_n) est une suite constante.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que
u₀ = 0.

2) Calculer u₁, u₂ et u₃.

Soit la suite (v_n) définie par la relation
v_n = u_n – ⁵/₉.
3) Démontrer que cette suite est une suite géométrique dont on précisera la raison.

4) Exprimer v_n en fonction de n.
En déduire l’expression de u_n en fonction de n.

5) Calculer lim_(n→+∞) u_n.

La suite (S_n) est définie sur N par
S_n = ( ⁵/₉ ) x 1,11…1
avec n chiffres égaux à 1.

6) En remarquant que
S_n = ( ⁵/₉ )[ 1 + ¹/₁₀ + … + (¹/₁₀)^n-1 ],
montrer que
S_n = ( ⁵⁰/₈₁ )[ 1 – (¹/₁₀)ⁿ ].

7) En déduire que la limite de la suite (S_n) est un nombre rationnel (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Mots-clés de l’exercice : suite, somme géométrique, limite.

Exercice précédent : Suites – Graphique, Récurrence, Algorithme, Arithmétique- Terminale