Maths de Terminale : exercice de probabilités et suites avec limite. Conditionnelles, arbre, auxiliaire géométrique, raison, premier terme.
Exercice N°323 :
Mots-clés de l’exercice : exercice, probabilités, suites, limite.
Exercice N°323 :
On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :
– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes;
– chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.
Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués ainsi :
– on tire au hasard une bille dans S1 ;
– on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
– on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
– etc.
Pour tout entier n ≥ 1, on note En l’événement : “la bille tirée dans Sn est verte” et p(En) est sa probabilité.
1) D’après l’énoncé, donner les valeurs de
* p(E1),
* p(E2 sachant E1),
* p(E2 sachant –E1).
– est “barre”.
* En déduire la valeur de p(E2).
2) A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1) en fonction de p(En).
On considère la suite (un) définie par son premier terme
u1 = 2/5
et par la relation de récurrence :
un+1 = (1/5)un + 2/5
pour tout n ≥ 1.
La suite (vn) est définie pour tout n ≥ 1 par :
vn = un − 1/2.
3) Démontrer que (vn) est géométrique, et préciser sa raison et son premier terme.
4) Déduire du 3) l’expression de un en fonction de n, pour tout n ≥ 1.
5) Déterminer la limite de la suite (un).
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, probabilités, suites, limite.
Exercice précédent : Probas et Suites – Arbre, limite, géométrique – Terminale
