Maths : exercice sur le logarithme népérien, terminale, application économique. Dérivée, variation, signe, bénéfice, solution unique, minimum.
Exercice N°420 :
Exercice N°420 :
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l’électricité.
Elle en produit chaque mois entre 50 et 2500.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par
f(x) = 18ln(x) − x2 + 16x − 15.
Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que f(x) représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.
On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f ‘ sa fonction dérivée.
1) Calculer f ‘ (x).
Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25], on a
f ‘ (x) = (-2x2 + 16x + 18)/x.
2) Étudier le signe de f ‘ (x) sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
3) Calculer f(1).
4) Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation f(x) = 0 admet une solution unique α. Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10−2 près.
5) En déduire le signe de f(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25].
6) Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?
7) L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 euros ? Justifier la réponse.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, logarithme népérien, terminale.
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Calculs, équations, inéquations – Terminale
