Maths de terminale : exercice de logarithme népérien avec suite, fonction exponentielle. Limites, sens de variation, convergence, auxiliaire.
Exercice N°359 :
Exercice N°359 :
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle
]0 ; +∞[ par g(x) = x – ln(x).
1) Déterminer les limites de la fonction g en 0 et en +∞.
2) Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et déterminer la dérivée g ‘ (x).
3) Dresser le tableau de variations de la fonction g.
Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par
un = en/nn.
4) Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
– le sens de variation de la suite (un),
– la limite éventuelle de la suite (un).
Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par
vn = ln(un).
5) Montrer que vn = n – n×ln(n).
6) En utilisant les trois premières questions, déterminer le sens de variation de la suite (vn).
7) En déduire le sens de variation de la suite (un).
8) Montrer que la suite (un) est bornée.
9) Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, logarithme népérien, suite.
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Fonctions, variations, inéquations – Terminale
