Maths de terminale : exercice de logarithme népérien avec exponentielle. Fonctions, limites, variations, équations, inéquations, TVI, dérivée.
Exercice N°357 :
Exercice N°357 :
f est la fonction définie sur R par :
f(x) = x + 2 − ln(1 + e2x)
Cest sa courbe représentative dans un repère orthogonal
(O ; →i ; →j) avec 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.
Étude d’une fonction auxiliaire :
On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(x) = ex + e−x.
1) Calculer la limite de g en +∞.
2) Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[, puis établir le tableau de variation de g.
3) Prouver que l’équation g(x) = e2 admet une unique solution, notée α,
sur [0 ; +∞[. Donner un encadrement d’amplitude 10−2, de α.
Étude de la fonction f et de sa courbe C :
4) Déterminer la limite en −∞ de ln(1 + e2x).
5) En déduire la limite de f en −∞.
6) Montrer que, pour tout réel x :
f(x) = 2 − x − ln(1 + e−2x)
7) En déduire la limite de f en +∞.
8) Montrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour C.
9) Prouver que, pour tout réel x,
f ‘ (x) = (1 − e2x)/(1 + e2x)
où f ‘ est la fonction dérivée de f.
10) Étudier les variations de la fonction f.
11) Prouver que f(α) = 0.
12) Tracer C.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, logarithme népérien, exponentielle.
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Fonction, distance, algorithme – Terminale
