frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Maths de terminale : exercice, intégrale, primitive, logarithme népérien, fractions, intégrale, inégalités, encadrement, aire.

Exercice N°461 :

Exercice N°461 :

Soit g la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
g(x)= 1 + x² − 2x²ln(x).

1) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [1 ; +∞[.

2) Calculer g(e). Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; e].
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10⁻¹.

3) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
f(x) = ^ln(x)/_(1+x²).
On note f ‘ la fonction dérivée de f.

4) Calculer f ‘ (x) et montrer que pour tout x ≥ 1 on a :
f ‘ (x) = ^g(x)/_{(x(1 + x²)²)}.

5) Déduire des questions 1), 2), 3) le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.

6) Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; +∞[ on a :
0 ≤ f(x) ≤ ^ln(x)/_x².

7) En déduire lim _{[x →∞]} f(x).

8) Montrer que f(α)= ¹/_α² et dresser le tableau de variation complet de f.

9) Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
F(x) = ^{(-1 – ln(x))}/_x
est une primitive de la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par ^ln(x)/_x².
En déduire que ∫_{[de 1 à e]} ^ln(x)/_x² dx = 1 – ²/_e.

On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, ^→i, ^→j) d’unité graphique 1 cm.
Soit A l’aire exprimée en cm² du domaine compris entre la courbe C_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e.
10) Déterminer un encadrement de A.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, intégrale, primitive, logarithme.

Exercice précédent : Primitives – Calculs, logarithme, intégrale, inégalités – Terminale