Maths de terminale : exercice sur la fonction logarithme népérien. Limites, variations, tangentes, polynômes, tangente, équations, courbe.
Exercice N°631 :
Exercice N°631 :
Soit f la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par :
f(x) = ln(x) – ( 1/ln(x) ).
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’origine O et Γ la courbe représentative de la fonction ln.
1) Étudier les variations de f et ses limites en 1 et +∞.
2) Déterminer lim[x → +∞]( f(x) – ln(x) ).
3) Que peut-on déduire des deux premiers résultats pour les courbes C et Γ ?
On cherche à déterminer si les tangentes à C contiennent le point O.
Soit a ∈ ]1 ; +∞[.
4) Démontrer que la tangente Ta à C au point d’abscisse a contient O si et seulement si f(a) – a×f ‘ (a) = 0.
On considère alors la fonction g définie sur ]1 ; +∞[ par :
g(x) = f(x) – x×f ‘ (x).
5) Montrer que les équations
g(x) = 0
et
( ln(x) )3 – ( ln(x) )2 – ln(x) – 1 = 0
ont les mêmes solutions dans ]1 ; +∞[.
6) Après avoir étudié les variations de la fonction
u : t → t3 – t2 – t – 1,
montrer que la fonction u s’annule une et une seule fois sur R.
7) En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe C passant par O.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, fonction, logarithme népérien.
Exercice précédent : Trigonométrie – Équations, sinus, cosinus, carré – Première
