Exponentielle – Fonction, suite, courbe, tangente – Terminale

mars 15th, 2021

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale

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Maths : exercice d’exponentielle avec fonction et suite. Courbes représentatives, variatios, tangente, abscisse, ordonnée, terminale.

Exercice N°277 :

Exponentielle, fonction, suite, courbe, tangente, terminale

Pour tout entier n ≥ 1, on note fn la fonction définie sur R par
fn(x) = xne-x.

Cn est la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé.
Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe C3 ainsi qu’une courbe Ck pour un certain k ∈ N* tel que la tangente Tk à Ck au point M d’abscisse 1 coupe l’axe des ordonnées en A de coordonnées (0 ; –4/e).

On cherche à déterminer la valeur de k :

1) Étudier les variations de f1 et dresser son tableau de variations.

2) A l’aide de la représentation graphique, justifier que k ≠ 1.

3) Démontrer que pour tout entier n ≥ 1, toutes les courbes Cn passent par deux points fixes dont on donnera les coordonnées.

4) Vérifier que pour tout entier n ≥ 2 et tout nombre x,
fn ‘ (x) = xn – 1(n – x)e-x.

5) Sur la figure, f3 semble admettre un maximum pour x = 3. Démontrer cette conjecture.

6) Démontrer que la tangente Tk en M à la courbe Ck coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; (2 – k)/e).

7) En déduire la valeur de k.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, fonction, suite.

Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, dérivée, courbe, variations – Terminale

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