Maths de terminale sur les primitives. Exercice avec encadrement d’une intégrale exponentielle, fonction, limite, intervalles, inégalités.
Exercice N°457 :
Exercice N°457 :
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par
f(x) = ex/(x + 2).
1) Étudier la limite de la fonction f en +∞.
2) Étudier les variations de la fonction f, puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[.
Le but maintenant est de déterminer un encadrement de l’intégrale :
I = ∫[de 0 à 1] f(x)dx.
3) Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on a :
1/2 ≤ f(x) ≤e/3.
Soit a et b deux réels et G la fonction définie sur R;
par G(x) = (ax + b)ex.
4) Déterminer les valeurs de a et b pour que
G ′ (x) = (2 − x)ex
pour tout réel x.
Soit J l’intégrale définie par :
J = ∫[de 0 à 1] (2 – x)exdx.
5) Montrer que J = 2e − 3. (Hors-programme)
Soit K l’intégrale définie par :
K = ∫[de 0 à 1] x2f(x)dx.
6) Utiliser l’encadrement de f(x) obtenu précédemment pour démontrer que :
1/6 ≤ K ≤e/9.
7) Démontrer que J + K = 4I.
8) Déduire de tout ce qui précède un encadrement de I.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : encadrement, intégrale, exponentielle, fonction.
Exercice précédent : Fluctuation – Binomiale, paramètres, seuil, intervalle – Terminale
