frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = ^6π/₃

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-^3π/₃ ; ^3π/₃].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de 13 (pour ^13Π/₃), enlever plusieurs fois 6 (pour ^6π/₃) pour arriver dans l’intervalle ]-3 ; 3] (pour ]-^3π/₃ ; ^3π/₃]).

13 – 6 = 7
7 – 6 = 1
1 appartient bien à ]-3 ; 3] donc la mesure principale est ^1Π/₃.

2) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = ^10π/₅

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-^5π/₅ ; ^5π/₅].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de 18 (pour ^18Π/₅), ajouter soustraire plusieurs fois 10 (pour ^10π/₅) pour arriver dans l’intervalle ]-5 ; 5] (pour ]-^5π/₅ ; ^5π/₅]).

18 – 10 = 8
8 – 10 = -2
-2 appartient bien à ]-5 ; 5] donc la mesure principale est ^-2Π/₃.

3) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = ^14π/₇

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-^7π/₇ ; ^7π/₇].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de -24 (pour ^-24Π/₇), ajouter plusieurs fois 14 (pour ^14π/₇) pour arriver dans l’intervalle ]-7 ; 7] (pour ]-^7π/₇ ; ^7π/₇]).

-24 + 14 = -10
-10 + 14 = 4
4 appartient bien à ]-7 ; 7] donc la mesure principale est ^4Π/₇.

4) Pour calculer la mesure d’un principale d’un angle, l’idéal est de mettre 2π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
2π = ^32π/₁₆

La mesure principale doit se situer dans l’intervalle ]-π ; π]. Là aussi, l’idéal est de mette les π sous la forme d’une fraction avec le même dénominateur que notre angle.
]-π ; π] = ]-^16π/₁₆ ; ^16π/₁₆].

Si l’angle de départ est au delà de l’intervalle ]-π ; π], il faut enlever les 2π jusqu’à l’atteindre.
Si l’angle de départ est en deçà de l’intervalle ]-π ; π], il faut ajouter les 2π jusqu’à l’atteindre.

Du coup, comme j’ai tout mis sur le même dénominateur et qu’il y a des π partout, on peut partir de 1024 (pour ^1024Π/₁₆), enlever plusieurs fois 32 (pour ^32π/₁₆) pour arriver dans l’intervalle ]-16 ; 16] (pour ]-^16π/₁₆ ; ^16π/₁₆]).

1024 – 32 = 992
992 – 32 = 960
960 – 320 = 640 (j’enlève 10 fois 32)
640 – 320 = 320 (j’enlève 10 fois 32)
320 – 320 = 0 (j’enlève 10 fois 32)

0 appartient bien à ]-16 ; 16] donc la mesure principale est ^0Π/₁₆ = 0.

5) Pour déterminer les placements des angles ^4Π/₃, ^3Π/₄ et ^Π/₆, il faut penser à des gâteaux.
Un gâteau avec des parts de ^Π/₃ est un gâteau avec un découpage pour 6 personnes.
Un gâteau avec des parts de ^Π/₄ est un gâteau avec un découpage pour 8 personnes.
Un gâteau avec des parts de ^Π/₆ est un gâteau avec un découpage pour 12 personnes.

Déjà, détermine la taille d’une part à partir de la gauche (l’angle 0), puis ajoute le nombre de parts de même taille pour arriver au bon angle.
Pour ^4Π/₃, vas jusqu’à 4 parts d’un gâteau de 6 personnes.
Pour ^3Π/₄, vas jusqu’à 3 parts d’un gâteau de 8 personnes.

6) Pour additionner des angles, mets ceux-ci sur le même dénominateur (ici 12).

Α = ^4Π/₃ + ^3Π/₄ + ^Π/₆
= ^16Π/₁₂ + ^9Π/₁₂ + ^2Π/₁₂
= ^{( 16Π + 9Π + 2Π )}/₁₂
= ^27Π/₁₂
= ^3Π/₁₂ (en enlevant 2π)
= ^Π/₄.

Β = ^3Π/₄ – ^Π/₆ – ^4Π/₃
= ^9Π/₁₂ – ^2Π/₁₂ – ^16Π/₁₂
= ^{( 9Π – 2Π – 16Π )}/₁₂
= ^-9Π/₁₂
= ^-3Π/₄.

Γ = ^Π/₆ – ^4Π/₃ – ^3Π/₄.
= ^2Π/₁₂ – ^16Π/₁₂ – ^9Π/₁₂
= ^{( 2Π – 16Π – 9Π )}/₁₂
= ^-23Π/₁₂
= ^Π/₁₂ (en ajoutant 2π).

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Pour démontrer que ABDC est un parallélogramme, il suffit de démontrer que ^→AB = ^→CD.
Les deux dernières lettres sont inversées !

^→AB
{
x_^→AB = x_B – x_A = 3 – (-2) = 5 ;
y_^→AB = y_B – y_A = 3 – 4 = -1.

^→CD
{
x_^→CD = x_D – x_C = 4 – (-1) = 5 ;
y_^→CD = y_D – y_C = -1 – 0 = -1.

Les coordonnées des vecteurs AB et CD sont les mêmes donc ^→AB = ^→CD.
Donc ABDC est un parallélogramme.

2) Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
Calculons donc AB et BD séparément (qui sont deux côtés consécutifs dans le parallélogramme).
Pour ça, on utilise la formule de la distance :

On a déjà calculé x_B – x_A et y_B – y_A au dessus :

AB = √( 5² + (-1)² )
= √26.

BD = √( (x_D – x_B)² + (y_D – y_B)² )
= √( (4 – 3)² + ((-1) – 3)² )
= √( 1² + (-4)² )
= √17.

AB différent de BD donc les côtés consécutifs ne sont pas égaux, donc ABDC n’est pas un losange.

3) On veut que GHKL soit un parallélogramme donc ^→GH doit être égal à ^→LK.
Cette égalité vectorielle équivaut à un système de coordonnées de vecteurs.

{
x_^→GH = x_^→LK,
y_^→GH = y_^→LK
⇔
{
x_H – x_G = x_K – x_L (d’après le cours),
y_H – y_G = y_K – y_L
⇔
{
2 – 0 = -2 – x_L,
1 – 0 = 3 – x_L
⇔
{
2 + 2 = – x_L
1 – 3 = – y_L
(en isolant les coordonnées de L à droite)
⇔
{
x_L = -4
y_L = 2
(en multipliant par -1)

4) Pour démontrer que ^→GE = ^→FK, on calcule les coordonnées de ces vecteurs séparément.

x_^→GE = x_E – x_G = -3 – 0 = -3
y_^→GE = y_E – y_G = -2 – 0 = -2
x_^→FK = x_K – x_F = -2 – 1 = -3
y_^→FK = y_K – y_F = 3 – 5 = -2

On obtient
x_^→GE = x_^→FK,
y_^→GE = y_^→FK.

Les deux vecteurs ont même coordonnées donc ils sont égaux.
Du coup, GEKF est un parallélogramme.

5) Pour montrer que [FE] et [HL] ont même milieu, utilisons la formule des coordonnées d’un milieu sur les deux segments.

Milieu de [FE] :
^{(x_F + x_E)}/₂ = ^{(1 + (-3))}/₂ = ^(-2)/₂ = -1,
^{(y_F + y_E)}/₂ = ^{(5 + (-2))}/₂ = ³/₂.

Milieu de [HL] :
^{(x_H + x_L)}/₂ = ^{(2 + (-4))}/₂ = ^(-2)/₂ = -1,
^{(y_H + yL)}/₂ = ^{(1 + 2)}/₂ = ³/₂.

Les deux milieux ont les mêmes coordonnées, donc c’est le même milieu pour les deux segments.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé

1) Une hausse de 26% correspond à un coefficient de
(1 + ^p/₁₀₀) = (1 + ²⁶/₁₀₀) = 1,26.

2) Une baisse de 31% correspond à un coefficient de
(1 – ^p/₁₀₀) = (1 – ³¹/₁₀₀) = 0,69.

3) Une baisse de 13% suivie d’une hausse de 17% correspond au produit des coefficients multiplicateurs suivants :
(1 – ^p/₁₀₀) × (1 + ^p/₁₀₀)
= (1 – ¹³/₁₀₀) × (1 + ¹⁷/₁₀₀)
= 0,87 × 1,17
= 1.0179.

4) Multiplier par 1,17 revient à un coefficient multiplicateur supérieur à 1 soit une augmentation.

Pour retrouver le pourcentage, on fait -1 puis ×100. :
1,17 – 1 = 0,17
0,17 × 100 = 17%
soit une hausse de 17%.

5) Multiplier par 0,78 revient à un coefficient multiplicateur inférieur à 1 soit une diminution.

Pour retrouver le pourcentage, on fait -1 puis ×100 :
0,78 – 1 = -0,22
-0,22 × 100 = -22%
soit une baisse de 22%.

6) Diviser par 1,4 revient à calculer le coefficient multiplicateur
¹/_1.4 = 0,7143 environ.

Pour retrouver le pourcentage, on fait -1 puis ×100 :
0,7143 – 1 = -0,1857
-0,1857 × 100 = -18.57%
soit une baisse de 18.57%.

7) Une remise de 20% correspond à une multiplication par le coefficient multiplicateur (1 – ²⁰/₁₀₀) = 0,80.
Une remise de 30% correspond à une multiplication par le coefficient multiplicateur (1 – ³⁰/₁₀₀) = 0,70.

Pour avoir la remise globale qui englobe les deux remises successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs 0.80 × 0,70 = 0,56.

Pour retrouver le pourcentage, on fait -1 puis ×100 :
0,56 – 1 = -0,44
-0,44 × 100 = -44.

Le pourcentage de remise globale est de 44%.

8) Si le commerçant augmente ses prix de 15%, cela fait une multiplication de (1 + ¹⁵/₁₀₀) = 1,15.
Il veut solder pour retrouver un prix initial. Pour revenir au prix initial, le second coefficient multiplicateur devra être égal à ¹/_1.15 = 0.86956.

Pour retrouver le pourcentage, on fait -1 puis ×100 :
0,86956 – 1 = -0,13043
-0,13043 × 100 = -13,043

Le pourcentage de baisse sera au maximum de 13.043%.

9) S’il y a 40% de gens qui ont une mauvaise vue, c’est qu’il y a
100-40 = 60% de gens qui ont une bonne vue.

D’après les données, cela fait 45 personnes.

On a donc une ligne avec un pourcentage de 60% et un nombre de 45. Pour avoir le total, il faut placer 100% dans le même tableau et faire le produit en croix :

60% | 45
100% | x

x = 100×45/60 = 75 personnes en tout.

10) 70% des gens qui ont une mauvaise vue, cela correspond à
70/100 FOIS ce nombre de personnes. Ce nombre est donc égal à
0,7×40 = 28 personnes.

Pour connaître le pourcentage par rapport aux 75 personnes du groupe :
28 | 75%
x | 100%

x = 28 × 100/75 = 37,3%.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Pour avoir le coût marginal C_m(x), on fait la fonction dérivée du coût total
C_T(x) = 2x² + xe^{-2x + 3}.

C_T(x) = 2x² + u(x) × v(x)
avec u(x) = x,
donc u ‘ (x) = 1,
avec v(x) = e^{-2x + 3},
donc v ‘ (x) = -2 × e^{-2x + 3} avec la dérivée de l’exponentielle :

Donc C ‘ _T(x) = 2 × 2x + (u ‘ (x) × v(x) + u(x) × v ‘ (x))
= 4x + 1 × e^{-2x + 3} + x × (-2 × e^{-2x + 3})
On obtient en factorisant par l’exponentielle :
C_m(x) = 4x + (1 – 2x) × e^{-2x + 3}

2) Pour calculer le coût marginal pour 150 articles, on fait :
C_m(1.5) = 4 × 1.5 + (1 – 2 × 1.5) × e^{-2 × 1.5 + 3}
= 6 – 2 × e^{-2 × 1.5 + 3}
= 6 – 2 × e⁰
= 6 – 2 × 1
= 4 milliers d’euros.

C_M(x) = ^C_T(x)/_x
3) Expression de C_M(x) :

C_M(x) = ^{(2x2 + xe-2x + 3)}/_x
= ^{(x × [2x + e-2x + 3])}/_x
(en factorisant par x au numérateur)
= 2x + e^{-2x + 3}
(en simplifiant ^x/_x = 1).

4) Déterminer C_M ‘ (x) :

C_M(x) = 2x + e^{-2x + 3}
On utilise à nouveau la formule de la dérivée de l’exponentielle vue au-dessus.
C_M ‘ (x) = 2 + (-2) × e^{-2x + 3}
= 2 – 2e^{-2x + 3}
= 2 × (1 – e^{-2x + 3})
(comme je vois 2 et 2 dans chaque terme, je factorise par 2)

5) Résolvons l’équation 1 – e^{-2x + 3} = 0 :

1 – e^{-2x + 3} = 0
⇔ 1 = e^{-2x + 3}
⇔ e⁰ = e^{-2x + 3}
⇔ 0 = -2x + 3
⇔ 2x = 3
⇔ x = ³/₂

S = {³/₂}

6) Résolvons l’équation 1 – e^{-2x + 3} > 0 :

1 – e^{-2x + 3} > 0 (expression positive)
⇔ 1 > e^{-2x + 3}
⇔ e⁰ > e^{-2x + 3}
⇔ 0 > -2x + 3
(car exp est strictement croissante, on ne change pas le sens de l’inégalité)
⇔ 2x > 3
⇔ x > ³/₂
(x à droite de ³/₂)

S = ]³/₂ ; +∞[

7) Pour obtenir les variations de C_M, il nous faut le signe de C_M ‘ (x) qui est un produit. On fait le tableau suivant :

8) D’après le tableau de variation de C_M, on voit que le coût moyen est minimal pour une quantité de 1.5 centaine d’articles.

Donc C_M(1.5) = 2 × 1.5 + e^{-2 × 1.5 + 3}
= 3 + e⁰
= 3 + 1 = 4.

Le coût moyen minimal est de 4 milliers d’euros.

R(x) = 7x,
B(x) = R(x) − C_T(x).
Par lecture graphique déterminer :

9) Le coût marginal est décroissant, soit C_m décroissante. Or C_m est la dérivée de C_T donc cela équivaut à C ‘ _T décroissante.
Or C ‘ _T décroissante
⇔ C ‘ ‘ _T(x) négatif
⇔ C_T concave
⇔ C’est quand les tangentes à la courbe sont au-dessus de cette même courbe, c’est-à-dire avant le point d’inflexion de la courbe qui est proche du point d’abscisse 0.7.
L’intervalle de rendement marginal croissant est de [0 ; 0.7].

10) Le coût moyen minimal est atteint en x = 1.5, donc on regarde le coût total qui vaut 6.
Pour obtenir ce coût moyen, on peut rediviser ce coût total par la quantité.
⁶/_1.5 = 4.
On retrouve le coût moyen calculé plus haut.

11) Le bénéfice est positif quand la recette est supérieure au coût. Il faut déterminer les abscisses des points des courbes quand la droite des recettes est au-dessus de la droite du coût.
On remarque que le bénéfice est positif pour des quantités allant de 0.6 à 3.5 centaines d’articles.

12) Pour obtenir la quantité x₀ avec le bénéfice maximal, il faut regarder à quel endroit l’écart entre la droite de la recette et la courbe du coût est le plus grand. D’après le graphique, x₀ = 2.2 centaines d’articles environ.

13) Avec la calculatrice, déterminons l’intervalle (à un article près) pour avoir un bénéfice positif. Pour cela, on a besoin de la formule du bénéfice B(x) qui est égale à
R(x) – C_T(x)
= 7x – (2x² + xe^{-2x + 3})

Je rentre cette formule dans le tableur de la calculatrice.

D’abord de 0 à 1, ensuite de 3 à 4 car nous avions vu dans une question précédente que les bornes étaient environ de 0.6 et de 3.5.

Je commence par mettre le pas (step) à 0.1, la fonction B(x) change de signe entre 0.6 et 0.7, puis entre 3.4 et 3.5.

Puis j’affine le pas au centième pour arriver à l’article près (x étant en centaines d’articles). On a :

B(0.62) = -0.0325 (au dix-millième près)
B(0.63) = 0.0269 (au dix-millième près)

B(3.49) = 0.0046 (au dix-millième près)
B(3.50) = -0.0064 (au dix-millième près)

On conserve les valeurs où les images sont positives.
Donc l’entreprise fait un bénéfice positif
sur l’intervalle [0.63 ; 3.49].

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

f(q) = 0.5q

g(q) = ^{(78 – 6q)}/_{(q + 8)}

1) Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe de demande indique une abscisse de 10 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (10 ; 1).

Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe d’offre indique une abscisse de 2 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (2 ; 1).

La demande étant de 10 millions contre une offre de 2 millions, elle est excédentaire.

2) Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que f(q) = 4.5.
Soit 0.5q = 4.5
⇔ ^0.5q/_0.5 = ^4.5/_0.5
⇔ q = 9

Pour un prix de 4.5, la quantité offerte est de 9 millions.

3) Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que g(q) = 4.5.
Soit ^{(78 – 6q)}/_{(q + 8)} = 4.5,
⇔ 78 – 6q = 4.5 × (q + 8)
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 78 – 6q – (4.5 × (q + 8)) = 0,
Dans ce cas,
⇔ 78 – 6q – (4.5q + 4,5 × 8) = 0,
⇔ 78 – 6q – 4.5q – 4,5 × 8 = 0,
⇔ 78 – 10.5q – 36 = 0
⇔ 42 – 10.5q = 0
⇔ q = ⁴²/_10.5 = 4.

Si on traces y = 4.5 et on regarde l’intersection avec Cg, on trouve bien un antécédent q qui vaut 4.

Pour un prix de 4.5, la quantité demandée est de 4 millions.

4) Pour un prix de 4.5 euros, comme la quantité demandée est de 4 millions et que la quantité offerte est de 9 millions, il y a trop d’offre par rapport à la demande. Beaucoup de produites seront invendus.

5) Pour avoir le prix d’équilibre, il faut que l’offre soit égale à la demande soit :
f(q) = g(q)
⇔ 0.5q = ^{(78 – 6q)}/_{(q + 8)}
⇔ 0.5q × (q + 8) = 78 – 6q
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 0.5q × q + 0.5q × 8 – 78 + 6q = 0
⇔ 0.5q² + 10q – 78 = 0
⇔ q² + 20q – 156 = 0
(en multipliant, par 2 de chaque côté pour enlever le 0.5)

C’est un polynôme du second degré.
Δ = b² – 4ac
= 20² – 4 × 1 × (-156)
= 400 + 624
= 1024 > 0 soit deux racines :

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-20 – √1024)}/_{(2 × 1)}
= ^{(-20 – 32)}/₂
= ^-52/₂
= -26

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-20 + √1024)}/_{(2 × 1)}
= ^{(-20 + 32)}/₂
= ¹²/₂
= 6

Comme les quantités vont de 1 à 12, on retient ici q = 6 millions pour quantité d’équilibre.
Le prix d’équilibre est donc g(6) = f(6) = 0.5 × 6 = 3 euros.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) On a u₀ = 7.

Calcul de u₁ :
u₁
= u₀₊₁ (donc n = 0)
= ^{(2 × u₀ + 6)}/₅ (car n = 0)
= ^{(2 × 7 + 6)}/₅
= 4
Donc u₁ = 4.

Calcul de u₂ :
u₂
= u₁₊₁ (donc n = 1)
= ^{(2 × u₀ + 6)}/₅ (car n = 1)
= ^{(2 × 4 + 6)}/₅
= ¹⁴/₅
Donc u₂ = ¹⁴/₅.

2) Pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule déjà les premiers termes, u₀, u₁ et u₂ et on regarde si leur différences sont constantes donc on obtient bien une raison additive r.
On a ici u₁ – u₀ = 4 – 7 = -3
et u₂ – u₁ = ¹⁴/₅ – 4 = ¹⁴/₅ – ²⁰/₅ = ^-6/₅.
u₁ – u₀ est différent de u₂ – u₁, donc la suite (u_n) n’est pas arithmétique car on n’ajoute pas le même nombre pour passer d’un terme au suivant.

Pour savoir si une suite est géométrique, comme les termes sont différents de 0, on calcule ^u₁/_u0 puis ^u₂/_u1.

^u₁/_u0 = ⁴/₇
et
^u₂/_u1 = (¹⁴/₅) / 4
= (¹⁴/₅) / (⁴/₁)
= (¹⁴/₅) × (¹/₄)
= ¹⁴/₂₀
= ⁷/₁₀.

On a ^u₁/_u0 différent de ^u₂/_u1 donc la suite (u_n) n’est pas géométrique car on ne multiplie pas par le même nombre pour passer d’un terme actuel au terme suivant. Il n’y a pas de raison multiplicative constante q pour passer d’un terme actuel au terme suivant.

3) Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut partir de
v_n+1 = …
puis arriver à …
= q × v_n
pour tout entier naturel n.

Comme on sait que u_n+1 = ^{(2u_n + 6)}/₅
et que
v_n = u_n – 2, on peut démarrer par :

v_n+1 = u_n+1 – 2
= ^{(2u_n + 6)}/₅ – 2
= (²/₅) × u_n + ⁶/₅ – ¹⁰/₅
= (²/₅) × u_n – ⁴/₅
= (²/₅) × u_n – ²/₅ × 2
= (²/₅) × (u_n – 2)
= (²/₅) × v_n.

Il existe q réel (q = ²/₅) tel que :
pour tout n, v_n+1 = q × v_n,
donc (v_n) est une suite géométrique de raison ²/₅
et de premier terme v₀ = u₀ – 2 = 7 – 2 = 5.

4) Comme (v_n) est géométrique, pour tout n,
v_n = v₀ × qⁿ
= 5 × (²/₅)ⁿ.

5) Comme v_n = u_n – 2,
alors u_n = v_n + 2,
donc u_n = 5 × (²/₅)ⁿ + 2
et ceci pour tout n entier naturel.

Bonne compréhension,
commenter en cas de point obscur, j’ajouterais une explication,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

Dessinons l’arbre de probabilité avec les données de l’exercice en vert. Comme la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1, je mets 0,1 vers p(G₁) et
1 – 0,1 = 0,9 vers p(^–G₁).

S’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8. Du coup, c’est un SACHANT et on le mets après la condition du « sachant » (sur une branche de droite). Comme la condition est de gagner la première partie, on met le 0,8 à droite du p(G₁) vers la probabilité de gagner la seconde partie soit p(G₂ ⋂ G₁) (on a gagné à la fois la 1ère et la 2ème partie).
Et du coup, on met le 1 – 0,8 = 0,2 juste en dessous.

On fait de même avec la probabilité de gagner la 2ème partie si on a perdu la première. On est encore dans un SACHANT mais cette fois « sachant » P(^–G₁) car on a perdu la première partie. On place donc le 0,6 après le P(^–G₁) vers la seconde victoire qui est P(G₂ ⋂ ^–G₁) car on a à la fois perdu la 1ère et gagné la seconde. En dessous, on fait 1 – 0,6 = 0,4.

1) On veut maintenant calculer P(G₂). On voit que le G₂ apparaît dans G₂ ⋂ G₁ et G₂⋂^–G₁. Pour arriver à G₂, on doit donc passer par G1 ou ^–G₁.
La rédaction est :
G₁ et ^–G1 forment une partition de l’univers Ω.
D’après la Formule des Probabilités Totales,
P(G₂) = P(G₂ ⋂ G₁) + p(G₂ ⋂ ^–G₁)
= P(G₁) × P(G₂ ⋂ G₁) + p(^–G₁) × P(G₂ ⋂ ^–G₁)
= 0,1 × 0,8 + 0,9 × 0,6 en lisant de gauche à droite (avec les « sachants » à droite).
= 0,08 + 0,54 = 0,62.

2) « Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première. »
Cela veut dire qu’on SAIT qu’on est en G₂ et on veut ^–G1.
Donc cela revient à calculer P(^–G₁ sachant G₂)
= ^{P(–G₁ ⋂ G₂)}/_P(G2)
= ^{(0,9 × 0,6)}/_0,62 = 0,871.
On a donc P_G2(^–G₁) = 0,871.

3) Pour gagner au moins une partie sur les trois premières, il faut arriver dans l’un de ces trois cas :
– Gagner la 1ère (G₁, peu importe les autres).
– Perdre la 1ère et gagner la 2ème (^–G₁ ⋂ G₂), peu importe la dernière.
– Perdre les deux premières et gagner la 3ème (^–G₁ ⋂ ^–G₂ ⋂ G₃).

Cela revient à faire cet arbre :

On calcule donc :
P(gagner au moins une partie sur les trois)
= 0,1 + 0,9 × 0,6 + 0,9 × 0,4 × 0,6
= 0,64 + 0,216
= 0,856.

4) Pour démontrer cette formule à l’étape n+1 en fonction de l’étape n, il faut dessiner le passage de la partie n à la partie n+1 dans l’arbre de probabilité. Tout d’abord, représente les probabilités de gagner et perdre la partie n à gauche :

Tu peux voir tout à droite que pour avoir P(G_n+1), tu as besoin des ⋂ G_n et ⋂ ^–G_n. Une fois de plus, on utilise la Formule des Probabilités Totales comme ci-dessous :
G_n et ^–G_n forment une partition de l’univers Ω.
D’après la Formule des Probabilités Totales,
p_n+1
= P(G_n+1)
= P(G_n+1 ⋂ G_n) + P(G_n+1 ⋂ ^–G_n)
= p_n × 0,8 + (1 – p_n) × 0,6
= 0,8p_n + 0,6 – 0,6p_n
= 0,2p_n + 0,6
= (¹/₅)p_n + ³/₅.
car 0,2 = ¹/₅ et 0,6 = ³/₅.

5) Pour obtenir un raisonnement par récurrence, il faut utiliser au moins une donnée. Dans le 4) on a démontré que
p_n+1 = (¹/₅)p_n + ³/₅.
Je dois prouver que
p_n = ³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ.

Je commence par l’initialisation avec n = 1 :
D’une part, p₁ = 0,1.
D’autre part,
³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)¹
= ³/₄ – ¹³/₂₀
= ¹⁵/₂₀ – ¹³/₂₀
= ²/₂₀
= 0,1.

On a bien p = ³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)¹.
La propriété est vraie au rang 1.

Je dois maintenant faire l’hérédité :
Pour cela, je SUPPOSE que la propriété est vraie au rang n, puis je dois PROUVER qu’elle est vraie au rang n+1.
La supposition devient donc une DONNÉE au sein même de l’hérédité.
On a donc comme données :
p_n+1 = (¹/₅)p_n + ³/₅ (donnée permanente),
p_n = ³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ. (donnée supposée).

On doit donc arriver à la fin à :
p_n+1 = ³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ⁺¹..

Pour cela, on peut partir de p_n+1 = (¹/₅)p_n + ³/₅,
puis remplacer le p_n par la donnée supposée
p_n = ³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ.

On obtient donc
p_n+1 = (¹/₅) × [ ³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ ] + ³/₅
= (¹/₅) × (³/₄) – (¹/₅) × (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ + ³/₅
= ³/₂₀ – (¹³/₅) × (¹/₅)ⁿ × (¹/₅)¹ + ³/₅
= ³/₂₀ + ¹²/₂₀ – (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ⁺¹
= ¹⁵/₂₀ – (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ⁺¹
= ³/₄ – (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ⁺¹

Donc la propriété est vraie au rang (n+1).

6) On a prouvé que p_n = ³/₄ − (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ, calculons la limite.

Quand n tend vers +∞, lim (1/5)ⁿ = 0 car 0 < ¹/₅ < 1.
Par produit, quand n tend vers +∞, lim (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ = 0.
Par différence, quand n tend vers +∞, lim p_n = ³/₄.

7) ³/₄ − p_n < 10^-7
⇔ ³/₄ − (³/₄ – (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ) < 10^-7
⇔ ³/₄ − ³/₄ + (¹³/₄) × (¹/₅)ⁿ < 10^-7
⇔ (¹³/₄) × (³/₅)ⁿ < 10^-7
⇔ (¹/₅)ⁿ < 10^-7 × (⁴/₁₃) en multipliant par ⁴/₁₃ de chaque côté.
Maintenant on peut faire par tâtonnement (ou avec la calculatrice) mais la résolution classique avec le logarithme népérien est :
⇔ ln ((¹/₅)ⁿ) < ln [10^-7 × (⁴/₁₃)] car ln est strictement croissante sur l’intervalle des réels strictement positifs donc on conserve le sens des inégalités.
⇔ n × ln (¹/₅) < ln [10^-7 × (⁴/₁₃)]
car ln(aⁿ) = n × ln(a) d’après le cours.
⇔ n > ln [ 10^-7 × (⁴/₁₃) ] / ln(¹/₅) (on change de sens de l’inégalité car ln(¹/₅) est négatif à la calculette)
⇔ n > 10.7470 environ
⇔ n > 11 car n est entier naturel.

C’est à partir de n = 11 que l’écart entre p_n et ³/₄ devient plus petit que 10^-7.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Je vais essayer de trouver un contre-exemple. La fonction qui emmène la plupart des produits vers 0 en +∞, c’est e^-x.

C’est la limite d’un produit donc l’un des facteurs tend vers +∞.
Prenons g(x) = x car x tend vers +∞ en +∞.
Prenons f(x) = e^-x car un exponentiel est toujours strictement positif.
Je fais le produit e^-x × x et on essaie de déterminer sa limite.

Or d’après le cours sur les fonctions exponentielles :

f(x)g(x) = ¹/_e^x × x
= ^x/_e^x.

C’est l’inverse de ^ex/_x.
D’après le cours, pour tout n entier naturel :

Donc par inverse pour n = 1, la limite de ^x/_e^x en +∞ vaut 0⁺.

Donc je réponds Non avec ce contre-exemple.

2) ^f(x)/_x > 1
donc f(x) > x (car on multiplie chaque membre par x qui est strictement positif).

Or la limite de x vaut +∞ quand x tend vers +∞.
D’après le théorème de comparaison,
comme f(x) est supérieur à x, et que x tend vers +∞,
alors f(x) tend vers +∞.

Alors Oui.

3) Là aussi, on va utiliser un contre-exemple avec -x³ et -x².
Si -x³ est au-dessus de -x², alors les « moins s’annulent » et la fraction vaut x : la limite est +∞.

Si -x³ est en dessous de -x², alors les « moins s’annulent » et la fraction vaut ¹/_x : la limite est 0⁺.

Donc Non avec ce contre-exemple dessus-dessous.

4) Nous avons là du sinus en numérateur et du x en dénominateur . De plus, on cherche la limite en 0.

Cela nous ramène à une limite du cours :

Dans le X du haut, c’est-à-dire dans le sinus, on a 5x. Donc X = 5x. Pour obtenir le ^{(sin X)}/_X, il faut obtenir 5x au lieu de 3x au dénominateur.

Du coup, 3x = ⁵/₅ × 3 × x
= ³/₅ × 5 × x
= ³/₅ × 5x.

^sin(5x)/_(3x)
= ^sin(5x)/_{(³/5 × 5x)}
= ⁵/₃ × ^sin(5x)/_(5x) (diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse).

Or quand x tend vers 0, 5x tend aussi vers 0.
De plus, comme vu plus haut, la limite de ^sin(X)/_X = 1.
Donc par composition, ^sin(5x)/_(5x) tend vers 1.
Et par produit, la limite de ⁵/₃ × ^sin(5x)/_(5x) vaut ⁵/₃ en 0.
Ce qui est la limite demandée.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland