Exercice de maths de première d’algorithme avec somme et suite géométrique. Formes récurrentes, forme explicite, boucle pour.
Exercice N°349 :
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel par :
{ u0 = 5,
{ un+1 = 2un – 3 si n ∈ N.
1) Calculer u1, u2 et u3.
2) La suite un est-elle arithmétique ? géométrique ? ni l’un ni l’autre ? Justifier.
On considère l’algorithme ci-haut, écrit à l’aide du logiciel Algobox.
3) Que calcule cet algorithme ?
Soit la suite (vn) définie pour n entier naturel par :
vn = un – 3
4) Calculer les termes v0, v1, v2 et v3.
Que peut-on conjecturer sur la suite (vn) ?
5) Démontrer que pour tout entier naturel n,
vn+1 = 2vn
6) Exprimer vn en fonction de n.
7) En déduire que pour tout entier naturel n :
un = 3 + 2n+1.
8) Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.
On écrit l’algorithme suivant qui calcule la somme :
Sn = u0 + u1 + u2 + … + u10.
9) Recopier et compléter sur votre copie la ligne 11 de l’algorithme.
10) Pour n entier naturel, démontrer que :
v0 + v1 + v2 + … + vn = 2n+2 – 2.
11) En déduire que pour n entier naturel :
u0 + u1 + u2 + … + un = 2n+2 + 3n + 1.
12) Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.
13) Programmer le second algorithme en langage Python.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : algorithme, somme, suite, géométrique.
Exercice précédent : Fonctions – Image, antécédents, équations, développement – Seconde
