Exercice sur logarithme népérien avec variation en terminale. Maths, distance, TVI, solution unique, coordonnées, perpendiculaires.
Exercice N°353 :
Exercice N°353 :
Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
u(x) = x2 − 2 + ln x.
1) Étudier les variations de u sur ]0 ; +∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞.
2) Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur
]0 ; +∞[. On note α cette solution.
3) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.
4) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
5) Montrer l’égalité :
ln α = 2 − α2.
On considère la fonction f définie et derivable sur ]0 ; +∞[, dont l’expression est :
f(x) = x2 + (2 − ln x)2.
On note f ‘ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
6) Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[,
f ‘ (x) en fonction de u(x).
7) En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, →i, →j), on note :
Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;
A le point de coordonnées (0 ; 2) et
M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞[.
8) Montrer que la distance AM est donnée par
AM = √f(x).
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
g(x) = √f(x).
9) Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur
]0 ; +∞[.
10) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées.
11) Montrer que AP = α√(1 + α2).
12) La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, logarithme népérien, variation..
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Limites, dérivées, inéquations – Terminale
