Exercice de maths de terminale sur la fonction exponentielle, graphique, condition initiale, antécédent, expression, sens de variation.
Exercice N°332 :
Un groupe de chercheurs étudie l’élimination d’un médicament dans le sang. Pour cela, on a injecté ce médicament par intraveineuse à un patient volontaire, puis on a fait une première mesure à un instant que l’on appelle instant initial : on a trouvé une concentration de 1,2 gramme par litre (g.L-1) dans le sang de ce patient.
A partir de cet instant initial, on a mesuré pendant 24 heures la concentration en gramme par litre de médicament restant dans le sang du patient. Pour les 12 premières heures, on a ainsi obtenu la courbe ci-dessous.
1) Par lecture sur cette courbe, donner la concentration dans le sang au bout de 2 heures ?
2) Pour que la personne ait le droit de conduire, il faut que la concentration de médicament soit inférieure à 0,4 gramme par litre. A partir de combien de temps après l’instant initial la personne peut-elle prendre le volant ?
On admet que l’on peut modéliser cette situation par la fonction f donnée par
f(t) = (0,5t + b)e-0,4t
sur [0 ; 24] ; cette fonction associe à chaque instant t (en heures) écoulé depuis le début du traitement la concentration de ce médicament (en gramme par litre) dans le sang du patient.
3) Déterminer b en utilisant la concentration dans le sang à l’instant initial.
4) Déterminer la concentration au bout de 2 heures en utilisant ce modèle (donner la valeur exacte et une valeur arrondie au dixième).
5) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; 24].
6) En utilisant ce modèle, et à l’aide la calculatrice, déterminer à partir de combien d’heures après l’instant initial, la concentration devient inférieure à 0,06 gramme par litre.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exponentielle, graphique, condition initiale.
Exercice précédent : Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Terminale
