Maths de première : exercice pour trouver les coefficients d’un polynôme du troisième degré. Courbe, dérivation, équations, système.
Exercice N°797 :
Exercice N°797 :
Afin d’éviter le passage en centre-ville d’une ligne TGV, on effectue un changement du tracé de cette ligne. Sur le plan ci-dessous, G
représente l’ancienne gare et C la nouvelle gare desservant la ville.
On se propose de raccorder des deux tronçons rectilignes, c’est-à-dire la partie de l’axe des abscisses à gauche de A et la demi-droite [BC], par une courbe plane.
Le raccordement doit être tangent à ces deux tronçons rectilignes.
On modélise le problème du traçé à l’aide d’une fonction f définie sur R de la forme :
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
avec a, b, c et d quatre coefficients réels.
Le raccordement se fait entre les points A et B. On choisit un repère d’origine A comme c’est indiqué sur le schéma. L’axe des abscisses est la droite (AG).
1) Justifier que f(0) = 0 et que f ‘(0) = 0.
2) Que peut-on déduire de la question 1) pour les coefficients c et d ? Donner alors les expressions de f(x) et de f ‘(x) en fonction de a et de b.
3) Expliquer pourquoi f(4) = 3. Traduire cette égalité par une équation entre a et b.
4) Quel est le coefficient directeur de la droite (BC) ? En déduire que :
f ‘(4) = 1/2.
Traduire cette égalité par une équation entre a et b.
5) Résoudre le système formé par les deux équations trouvées en 3) et 4).
6) Quel est l’expression de f(x) en fonction de x seulement ?
7) Dans le repère ci-dessus, représenter l’allure de la ligne TGV entre A et B.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, trouver, coefficients, polynôme.
Exercice précédent : Optimisation – Surface, triangle, variation, maximum – Première
