Maths de terminale : exercice de suites avec variation et récurrence. Bornes, somme de termes, raisonnement, fonction, conjecture, signe.
Exercice N°184 :
Exercice N°184 :
On considère les suites (un), (vn) et (wn) définies ainsi :
Pour tout n ≥ 1,
un = 1/√n − 1/n
et
vn = (n² + 1)/n.
Pour tout n entier naturel,
w0 = 2
et
wn+1 = 2wn − 1.
1) Laquelle de ces suites est majorée ?
2) Cette suite est-elle majorée par 1/4, 0 ou 0.244 ?
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
f(x)=−( 2/3 )x + 1.
Soit (an) la suite définie par
a0 = 5
et
an+1= f(an)
pour tout n entier naturel.
3) La suite (an) est-elle croissante, décroissante ou constante ?
Soit la suite (Sn) définie, pour tout entier naturel n, par
Sn = 3 + 5 + 7 + … + (2n + 3)
que l’on peut écrire aussi
Sn = Σnk=0(2k + 3).
4) Préciser la valeur de S0 puis calculer à la main S1, S2 et S3.
5) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
Sn = (n + 1)(n + 3)
Soit (bn) la suite vérifiant :
b0 = 2
et
bn+1 = (2/3)bn + 3,
pour tout entier naturel.
6) A l’aide de la calculatrice, faire afficher les 20 premiers termes de la suite puis émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite (bn) et sur ses bornes éventuelles.
7) Prouver par récurrence que, pour tout n entier naturel,
bn ≤ 9.
8) Prouver votre conjecture sur le sens de variation de la suite (bn).
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, suites, variation, récurrence.
Exercice précédent : Probabilités – Arbre, intersection, conditionnelles – Première
