frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice de maths de première sur la probabilité avec QCM au hasard. Variables aléatoires, loi binomiale, tableau, moyenne et indépendance.

Exercice N°021 :

Exercice N°021 :

Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de cinq questions à choix multiples numérotées de 1 à 5. Pour chacune d’elle, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte.

Partie A :

Un candidat répond à ce QCM, en cochant, au hasard et de façon indépendante, chacun des 5 questions. On décide de donner au candidat un point par réponse exacte.
Soit X la variable aléatoire associant au réponse du candidat la note obtenue sur 5.

1) Justifier que X suit la loi binomiale et en préciser les paramètres.

2) Quelle est la probabilité qu’un candidat obtienne la note maximale ?

3) Établir la loi de probabilité de X en complétant le tableau ci-dessous en donnant les valeurs exactes, puis arrondies au millième :

4) Quelle est la probabilité qu’un candidat obtienne plus que la moyenne ?

5) Quelle note le candidat peut-il espérer obtenir (c’est à dire quelle note moyenne obtiendrait-il s’il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM) ?

Partie B :

On suppose que n’ candidats (n’ entier non nul) répondent à ce QCM, et que tous le font au hasard, indépendamment des autres.

6) Exprimer en fonction de n ‘ la probabilité p_n’ qu’au moins un candidat obtienne la note 5.

7) Pour quelles valeurs de n’ cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieure à 0,99 ?

Partie C :

Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard, on décide de toujours accorder 1 point par réponse exacte, mais cette fois d’enlever 0,2 point par réponse inexacte.
Soit Y la nouvelle variable aléatoire associant aux réponses du candidats la note obtenue sur 5.

8) Prouver qu’avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire Y s’exprime par
Y = 1.2X – 1.

9) En déduire la probabilité qu’un candidat obtienne une note négative, une note au dessus de la moyenne.

10) Quel note le candidat peut-il espérer obtenir ? L’objectif vous parait-il atteint ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Mots-clés de l’exercice : probabilité, qcm au hasard.

Exercice précédent : Probabilités – Feux tricolores au carrefour – Première