Maths de terminale : exercice, loi normale, échantillonnage, intervalle de fluctuation, moyenne, écart-type, fréquence, proportion.
Exercice N°453 :
Exercice N°453 :
Une machine fabrique en grande série des pièces d’acier. Soit X la variable aléatoire qui, à toute pièce prise au hasard dans la production hebdomadaire, associe sa longueur, exprimée en cm.
On admet que X suit la loi normale N(15 ; 0,072). Une pièce est déclarée défectueuse si sa longueur est inférieure à 14,9 cm ou supérieure à 15,2 cm.
1) Quelle est la probabilité qu’une pièce prise au hasard dans la production hebdomadaire soit défectueuse ?
2) Déterminer le nombre réel positif a tel que
p(15 – a ≤ X ≤ 15 + a) = 0,95.
Après un dysfonctionnement, la machine est déréglée. On fait l’hypothèse que la probabilité que la pièce soit défectueuse est à présent de 0,2.
On souhaite tester cette hypothèse ; pour cela, on prélève un échantillon de 100 pièces au hasard (on suppose que le stock est assez grand pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.) Le nombre de pièces défectueuses dans l’échantillon est de 15.
3) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la fréquence de pièces défectueuses.
4) Peut-on affirmer qu’au risque de 5 %, la fréquence observée est en accord avec l’hypothèse ? (Vérifier que les conditions d’application de la règle de prise de décision sont remplies.)
5) Reprendre les questions 3) et 4) lorsque l’échantillon contient 1000 pièces dont 150 sont défectueuses.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, loi normale, échantillonnage.
Exercice précédent : Lois continues – Exponentielle, sachant, indépendants – Terminale
