Maths de terminale : exercice de logarithme népérien, primitive, intégrale. Tableau, signe, variation, continuité, dérivée, aire sous courbe.
Exercice N°417 :
Exercice N°417 :
On considère la fonction f définie sur ]0 ; 6] par
f(x) = x(ln x – 1).
1) Montrer que, pour tout x de ]0 ; 6], on a :
f ′ (x) = ln x.
2) Étudier le signe de f ′ (x) sur ]0 ; 6] et en déduire le tableau de variations de f sur ]0 ; 6].
3) Montrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α ∈ [1 ; 6].
4) À l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 10-1 près.
5) Déterminer la valeur exacte de α par le calcul.
6) Démontrer que la fonction H définie sur ]0 ; +∞[ par
H(x) = (1/2x2)ln x – (1/4)x2
est une primitive de la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par
h(x) = xln(x).
7) En déduire une primitive F de f.
On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
8) Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par C, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = 4 et x = 5. On arrondira le résultat au dixième.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, logarithme, primitive, intégrale.
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Équations, variation, convexité – Terminale
