Maths de terminale : exercice de logarithme népérien avec bénéfice, quotient, dérivée, variation, économie, maximum, unitaire, total.
Exercice N°423 :
Exercice N°423 :
Une entreprise de sous–traitance fabrique des pièces pour l’industrie automobile. Sa production pour ce type de pièces varie de 1000 à 5000 pièces par semaine, selon la demande. On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.
Le bénéfice unitaire, en euro, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, est modélisé par la fonction f définie sur [1 ; 5] par :
f(x) = ( 2ln(x) + 1 )/x,
avec x exprimé en millier de pièces et f(x) exprimé en euro.
1) Montrer que, sur [1 ; 5],
f ‘ (x) = ( 1 – 2ln(x) )/x2.
2) Étudier le signe de f ‘ (x) et en déduire le tableau de variations de la fonction f sur [1 ; 5].
Donner les valeurs exactes aux bornes de l’intervalle de définition.
3) Pour quelle production, à 10 pièces près, le bénéfice unitaire est-il maximum ?
4) Quel est le bénéfice unitaire correspondant, à 0.01 € près ?
5) Calculer alors le bénéfice total réalisé.
6) Pour quelle(s) production(s) arrondie(s) à l’unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05 € ?
Pour cette question, ne pas chercher à résoudre une équation mais utiliser la calculatrice en expliquant la méthode suivie.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, logarithme népérien, bénéfice.
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Position relative, tangente, courbes – Terminale
