Maths : exercice de complexes avec fonction de terminale. Images, ensemble de points, droites, argument, parallélisme, figure, parallèles.
Exercice N°494 :
Exercice N°494 :
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, →u, →v) d’unité graphique 3 cm.
A tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ‘ d’affixe z ‘ par l’application f qui admet pour écriture complexe :
z ‘ = ((3 + 4i)z + 5 –z)/6.
On considère les points A, B, C d’affixes respectives
zA = 1 + 2i,
zB = 1
et
zC = 3i.
1) Déterminer les affixes des points A ‘, B ‘, C ‘ images respectives de A, B, C par f. Placer les six points.
On pose z = x + iy (avec x et y réels).
2) Déterminer les parties réelle et imaginaire de z ‘ en fonction de x et y.
Question trace de recherche :
Un point M est dit invariant par l’application f, lorsque f(M) = M.
3) Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation
y = 1/2 x.
Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?
Soit M un point quelconque du plan et M ‘ son image par f.
4) Montrer que M ‘ appartient à la droite (D).
5) Montrer que, pour tout nombre complexe z :
(z ‘ – z)/zA
est un nombre réel.
6) En déduire que, si M ‘ ≠ M, les droites (OA) et (MM ′) sont parallèles.
7) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N ′ ?
(on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).
Effectuer la construction sur la figure.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Exercice précédent : Complexes – Triangle, fonction, ensemble, alignés – Terminale
