frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Compléter la ligne effectifs cumulés croissants :

Pour calculer les effectifs cumulés croissants, on additionne la case de l’ECC de gauche avec l’effectif du dessus.
On obtient le total de tous les effectifs à gauche + celui de la case correspondante.
Le premier ECC est tout seul, c’est l’effectif du dessus 13.
Pour la seconde case, on reprend le 13 à gauche + l’effectif 34 du dessus, soit 47.
Pour la troisième case, le 47 de gauche + le 48 du dessus = 95.
Et ainsi de suite pour donner le tableau suivant :

2) Combien y a-t-il d’élèves de seconde dans le lycée ? :

Le nombre total d’élèves de seconde est donné par l’effectif total soit :
N = 13 + 34 + 48 + 36 + 9 = 140.
C’est aussi la dernière valeur (de droite) des ECC.

Il y a 140 élèves dans ce lycée.

3) Quelle est l’étendue de cette série ? :

La formule de l’étendue est donnée par :

Étendue = Maximum – minimum
= 18 – 14 = 4 ici.

L’étendue de cette série est 4.

4) Quelle est la moyenne de cette série à 10^-1 près ? :

La formule de la moyenne est :

Ici ^–x = ^{(13×14 + 34×15 + 48×16 + 36×17 + 9×18)}/_{(13 + 34 + 48 + 36 + 9)}
= ²²³⁴/₁₄₀ = 15,957 environ donc
^–x = 16,0 à 10^-1 près.

La moyenne de cette série est 16,0.

5) Quelle est la fréquence d’apparition de 16 ans en pourcentage à 10^-2 près ? :

Pour calculer la fréquence d’une valeur, on divise l’effectif associé à la valeur (ici 48) par l’effectif total de la série (ici 140).
La valeur 16 est dans la colonne N°3 donc :
f₃ = ^n₃/_n
= ⁴⁸/₁₄₀
= 0,3428 environ soit 0,34 à 10^-2 près.

6) Quelle les la médiane de cette série ? Traduire par une phrase la signification du nombre trouvé. :

Pour obtenir la médiane, on regarde si l’effectif total est pair ou impaire. Ici N=140, donc on va considérer les deux valeurs centrales qui sont la 70ème (70 valeurs à gauche à partir de la première incluant celle-ci) et la 71ème valeur (70 valeurs à droite incluant celle-là jusqu’à la 140ème).

Ensuite, pour tout calcul de médiane (ou quartile), il faut faire le tableau des Effectifs Cumulés Croissants (ECC) pour situer dans quelle case seront les 70ème et 71ème valeurs. Par chance, il a déjà été fait dans la question 1).

Comme il n’y a que 47 éléments en dessous de la valeur 15 et on arrive à 95 éléments pour la valeur 16, on constate que la 70ème valeur est 16 et la 71ème valeur est 16 aussi.

Me = ^{(16 + 16)}/₂ = 16.

La médiane est de 16, cela veut dire que au moins la moitié des valeurs sont en dessous ou égales à 16 et au moins la moitié des valeurs sont au dessus ou égales à 16.

7) Quels sont les quartiles de cette série ? :

Pour calculer Q1, il faut prendre la valeur numéro 0,25 × N, N étant l’effectif total.
0,25 × 140 = 35.

D’après le tableau des ECC, la 35ème valeur se trouve dans la case en dessous de la valeur 15, car pour 14 on est seulement à un ECC de 13, et on va jusqu’à 47 pour 15.

Donc Q1 = 15.

Pour calculer Q3, il faut prendre la valeur numéro 0,75 × N, N étant l’effectif total.
0,75 × 140 = 105.

D’après le tableau des ECC, la 105ème valeur se trouve dans la case en dessous de la valeur 17, car pour 16 on est seulement à un ECC de 95, et on va jusqu’à 131 pour 17.

Donc Q3 = 17.

8) Quel est le mode de cette série ? :

Le mode d’une série est la valeur dont l’effectif est le plus élevé, soit 16 qui a un effectif de 48.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Note moyenne arrondie à l’unité :

Rédaction :

Voici la formule de la moyenne :

^–x = ^{(1×3 + 2×5 + 1×7 + 5×8 + 4×10 + 1×11 + 7×13 + 3×14 + 2×17)}/_{(1+2+1+5+4+1+7+3+2)}
= ^{(3 + 10 + 7 + 40 + 40 + 11 + 91 + 42 + 34)}/₂₆
= ²⁷⁸/₂₆
= 10.69 au centième près
= 11 à l’unité près.

2) Tableau des effectifs cumulés croissants :

Rédaction :

Pour avoir la ligne des ECC, je fais la somme des cases de gauche avec la case d’effectif du dessus. Cela donne:

3) Médiane de cette série :

Rédaction :

L’effectif total N est de 26. 26 est pair donc on sélectionne les deux valeurs centrales. 26/2 = 13. Ce sont la 13ème et la 14ème.
D’après le tableau des ECC, la 13ème valeur est 10 et la 14ème valeur est 11.
La médiane est la moyenne de ces deux valeurs soit
Me = ^{(10 + 11)}/₍₂₎
Me = 10.5.

Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à 10.5, et au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à 10.5.

4) Premier et troisième quartiles :

Rédaction :

L’effectif total N est de 26.
Pour le premier quartile, on calcule ^1N/₄
= ²⁶/₄ = 6.5.

Le premier quartile Q₁ est donc la 7ème valeur. D’après le tableau des ECC, la 7ème valeur est 8.
Donc Q₁ = 8.

Au moins 25% des valeurs sont inférieures ou égales à 8.

Pour le troisième quartile, on calcule ^3N/₄
= ^{3 × 26}/₄ = 19.5.

Le troisième quartile Q₃ est donc la 20ème valeur. D’après le tableau des ECC, la 20ème valeur est 13.
Donc Q₃ = 13.

Au moins 75% des valeurs sont inférieures ou égales à 13.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice.

Tout le corrigé :

1) On a x² – 6x + 9,
c’est de la forme a² – 2ab + b² avec

a² = x² donc a = x,
b² = 9 donc b = 3,
On a bien 2ab = 2×x×3 = 6x.

Comme a² – 2ab + b² = (a – b)²,
on peut factoriser en (x – 3)².

2) On a x² + 10x + 25,
c’est de la forme a² + 2ab + b² avec

a² = x² donc a = x,
b² = 25 donc b = 5,
On a bien 2ab = 2×x×5 = 10x.

Comme a² + 2ab + b² = (a + b) ²,
on peut factoriser en (x + 5)².

3) On a x² – 16,
c’est de la forme a² – b² avec

a² = x² donc a = x,
b² = 16 donc b = 4.

Comme a² – b² = (a – b)(a + b),
on peut factoriser en (x – 4)(x + 4).

4) On a x² + 7x
= x×x + 7×x.

On a x en facteur commun,
donc c’est de la forme k×a + k×b avec
k = x,
a = x,
b = 7.

Comme k×a + k×b = k×(a + b),
on peut factoriser par x en x×(x + 7).

5) On a 4x² – 4x + 1,
c’est de la forme a² – 2ab + b² avec

a² = 4x² = (2x) ² donc a = 2x,
b² = 1 donc b = 1,
On a bien 2ab = 2×2x×1 = 4x.

Comme a² – 2ab + b² = (a – b) ²,
on peut factoriser en (2x – 1)².

6) On a 9x² + 12x + 4,
c’est de la forme a² + 2ab + b² avec

a² = 9x² = (3x) ² donc a = 3x,
b² = 4 donc b = 2,
On a bien 2ab = 2×3x×2 = 12x.

Comme a² + 2ab + b² = (a + b) ²,
on peut factoriser en (3x + 2) ² .

7) On a (2x + 1) ² – x²,
c’est de la forme a² – b² avec

a² = (2x + 1) ² donc a = (2x + 1),
b² = x² donc b = x.

Comme a² – b² = (a – b)(a + b),
don peut factoriser en ( (2x + 1) – x )( (2x + 1) + x )
= (2x + 1 – x)(2x + 1 + x)
= (x + 1)(3x + 1).

8) On a (x + 3)² – (2x – 3) ²,
c’est de la forme a² – b² avec

a² = (x + 3) ² donc a = (x + 3),
b²= (2x – 3) ²donc b = (2x – 3).

Comme a² – b² = (a – b)(a + b),
on peut factoriser en
( (x + 3) – (2x – 3) )×( (x + 3) + (2x – 3) )
= (x + 3 – 2x + 3)×(x + 3 + 2x – 3)
= (-x + 6)(3x + 0)
= (-x + 6)(3x)
= (3x)(-x + 6)
= 3x(-x + 6)

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) On cherche l’expression de l’aire d’un triangle DEF rectangle en E. Une expression, cela veut dire qu’on peut mettre des variables comme x à droite du égal ou alors des côtés.

Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut utiliser la formule
^{(Base × Hauteur)}/₂.
Comme ici, les triangles sont rectangles, la hauteur est l’un des côtés adjacent à l’angle droit. On obtient donc comme formule
^{(Côté × Côté)}/₂.
Les côtés sont ceux près de l’angle droit. Ils s’appellent GE et EF uniquement dans cette question.

Donc Aire(GEF rectange en E) = ^{(GE × EF)}/₂.

2) Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut utiliser la formule
^{(Base × Hauteur)}/₂. Comme ici, les triangles sont rectangles, la hauteur est l’un des côtés adjacent à l’angle droit. On obtient donc comme formule
^{(Côté × Côté)}/₂. Les côtés sont ceux près de l’angle droit.

Dans les 4 triangles, l’un des deux côtés a comme longueur a. C’est a qu’il faut mettre dans la formule. Le rectangle ABCD a des côtés de longueur 5 et 7. De plus, on voit sur la figure que AM = BN = QD = CP = a.
Les seules inconnues sont MB, DP, NC et AQ. Ces segments sont des morceaux des côtés des rectangles auxquels on a enlevé la longueur a.
Donc, d’après le dessin,
MB = DP = 7 – a
et
AQ = NC = 5 – a.

En revenant à la formule de ces triangles rectangles, on obtient :
^{(QD × DP)}/₂ = ^{(BM × BN)}/₂ = ^{(a × (7-a))}/₂
et
^{(PC × NC)}/₂ = ^{(AM × AQ)}/₂ = ^{(a × (5-a))}/₂.

3) Pour arriver à l’équation voulue, une aire bizarre est souvent égale à l’aire totale – les aires qu’on enlève? Ici il faut faire l’aire du rectangle ABCD en enlevant les aires des quatre triangles :
Aire MNPQ =
Aire(Rectangle ABCD) – 2 × Aire(MBN/QPD) – 2 × Aire(AMQ/PNC).

Donc X = 7×5 – 2×^{(a × (7-a))}/₂ – 2×^(a×(5-a))/₂
= 35 – (a × (7-a)) – (a × (5-a))
= 35 – (7a – a²) – (5a – a²)
= 35 – 7a + a² – 5a + a²
donc
X = 2a² – 12a + 35.

4) Pour a = 1,
X = 2a² – 12a + 35
= 2×1² – 12*1 + 35
= 2×1 – 12 + 35
= 2 – 12 + 35
= -10 + 35
= 25.
Pour a = 1, X = 25.

Pour a = ⁵/₂,
X = 2a² – 12a + 35
= 2×(⁵/₂)² – 12×(⁵/₂) + 35
= 2×(⁵²/_2²) – (¹²/₁)×(⁵/₂) + 35
= 2×(²⁵/₄) – (^(12*5)/_(1×2)) + 35
= (²/₁)×(²⁵/₄) – (⁶⁰/₂) + 35
= (^(2×25)/_(1×4)) – 30 + 35
= (⁵⁰/₄) – 30 + 35
= 12.5 – 30 + 35
= -17.5 + 35
= 17.5.
Pour a = ⁵/₂, X = 17.5.

5) On sait que X = 2a² – 12a + 35.
On veut X = 17
soit 17 = 2a² – 12a + 35
soit 17 – 17 = 2a² – 12a + 35 – 17.
soit 0 = 2a² – 12a + 18.

C’est un polynôme du second degré car il y a un a².
Factorison par 2 car les coefficients sont paires
soit 0 = 2×a² – 2×6×a + 2×9
soit 0 = 2×(a² – 6a + 9).

Nous obtenons la forme développée de a² – 2×a×b + b² avec
a² = a² soit a = a ici,
b² = 9 = 3² soit a = 3 ici,
et on a bien 2×a×b = 2×a×6 = 6a. On a bien la forme développée de la second identité remarquable.

La forme factorisée de a² – 2×a×b + b² est (a – b)².
On peut donc passer de 0 = 2×(a² – 6a + 9)
à 0 = 2×(a – 3)² dans les deux sens
soit 0 = 2×(a – 3)×(a – 3).

Un produit de facteur est nul si au moins l’un des 3 facteurs est nul donc :
2 = 0 ou (a – 3) = 0 ou (a – 3) = 0.
Comme 2 ne peut pas être égal à 0, c’est forcément les (a – 3) qui le sont soit
(a – 3) = 0
soit a = 3.

Pour que l’aire X soit égale à 17 cm², la longueur a doit être nécessairement de 3 et cela suffit.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers le corrigé

Tout le corrigé :

1) (d), A et ^→v :

Rédaction :

Comme ^→v est un vecteur, on peut le placer n’importe où sur le repère. Je prends un point de départ et je vais de 2 vers la droite (x = 2) et de 3 vers le bas (y = -3).

Pour tracer la droite, on choisit deux abscisses espacés et on calcule y.
Je choisis x = 6 et x = -6.

Pour x = 6 :
L’équation de droite est : 2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × 6 – 3y + 6 = 0
⇔ 12 – 3y + 6 = 0
⇔ 18 – 3y = 0
⇔ 18 = 3y
⇔ 6 = y
Les coordonnées de B, premier point de la droite (d) sont (6 ; 6).

Pour x = -6 :
2x – 3y + 6 = 0
⇔ 2 × (-6) – 3y + 6 = 0
⇔ -12 – 3y + 6 = 0
⇔ -6 – 3y = 0
⇔ -6 = 3y
⇔ -2 = y
Les coordonnées de C, second point de la droite (d) sont (-6 ; -2).

Je place ces deux points sur le graphique. Et je trace l’unique droite qui passe par ces deux points. Pour vérifier, je remplace x par 0 pour voir qu’elle est l’ordonnée à l’origine.
Soit 2 × 0 – 3y + 6 = 0
⇔ –3y + 6 = 0
⇔ 6 = 3y
⇔ 2 = y
C’est bon car on voit bien que la droite passe par l’ordonnée 2 sur l’axe des ordonnées. Il n’y a pas de contradiction.

2) Vecteur ^→u directeur de (d) :

Rédaction :

Les coordonnées d’un des vecteurs directeurs d’une droite sont :

Comme l’équation de droite est 2x – 3y + 6 = 0,
a = 2 et b = (-3).
Le vecteur directeur (le plus simple) est donc ^->u(-b ; a) donc ^→u(-(-3) ; 2). Du coup, le vecteur directeur de (d) ^→u a pour coordonnées (3 ; 2).

3) ^→w = 2^→u – ¹/₂^→v :

Rédaction :

Je place un point de départ sur la partie basse à droite. A partir de ce point, je fais deux fois le vecteur ^→u puis la moitié de ^→v à l’envers. J’obtiens un point d’arrivée. Du coup, j’ai le déplacement vecteur ^→w.

4) Calculer ensuite les coordonnées de ^→w :

Rédaction :

Cette question dépend du résultat trouvé à la question précédente.

Comme ^→w = 2^→u – ¹/₂^→v,
l’abscisse x_^→w = 2x_^→u – ¹/₂x_^→v
= 2 × 3 – ¹/₂ × 2
= 6 – 1 = 5.
Et l’ordonnée y_^→w = 2y_^→u – ¹/₂y_^→v
= 2 × 2 – ¹/₂ × (-3)
= 4 + 1,5 = 5,5 = ¹¹/₂.

Donc ^→w(5 ; ¹¹/₂).

5) Colinéarité :

Rédaction :

Là encore, cela dépend du vecteur directeur ^→u trouvé au départ. Regardons si les coordonnées de ^→v et de ^→w sont proportionnelles.

x = 2 et y = -3.
x’ = 5 et y’ = ¹¹/₂.

On a donc le tableau :
2 | -3
5 | ¹¹/₂

Les produits en croix sont :
2 × ¹¹/₂ = 11
Et :
5 × -3 = -15
Donc les produits en croix sont différent, x’y – xy’ est différent de 0, les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ^→v et ^→w ne sont pas colinéaires.

6) Équation de (d’) passant par A et de vecteur ^→v :

Rédaction :

On veut une équation cartésienne donc du type ax + by + c = 0.
Comme ^→v est un vecteur directeur. Ses coordonnées 2 et -3 sont -b et a. Du coup, -b = 2 (b = -2) et a = -3.

L’équation s’écrit donc -3x – 2y + c = 0.

Pour déterminer le nombre c, on remplace x et y par les coordonnées de A car ce point est sur la droite.
-3x_A – 2y_A + c = 0
⇔ -3x_A – 2y_A + c = 0
⇔ -3 × 1 – 2 × 7 + c = 0
⇔ -3 – 14 + c = 0
⇔ -17 + c = 0
⇔ c = 17.

Donc une équation cartésienne de droite est -3x – 2y + 17 = 0.

On sait que (d’) passe par A. Je choisis un autre abscisse x pour trouver un second point de la droite pour la tracer.
Je prends x = 6.

-3x – 2y + 17 = 0
⇔ -3 × 6 – 2y + 17 = 0
⇔ -18 – 2y + 17 = 0
⇔ -1 – 2y = 0
⇔ -1 = 2y
⇔ ^-1/₂ = y

Le second point de la droite, E, a pour coordonnées (6 ; ^-1/₂).

Si on remplace x par 0, on peut calculer que y = 8,5. Ce qui correspond à l’ordonnée à l’origine que l’on peut voir sur le dessin.

7) Intersection de (d) et (d’) :

Rédaction :

Pour déterminer les coordonnées x et y du point d’intersection de deux droites, on utilise les équations de ces deux droites. En effet, les coordonnées du point d’intersection respecte à la fois ces deux égalités. Cela fait donc un système à résoudre pour trouver le x et le y.

{ 2x – 3y + 6 = 0 pour (d)
{ -3x – 2y + 17 = 0 pour (d’)

Ces deux accolades sont en fait une seule grande accolade.
La première étape pour résoudre un système est d’obtenir le même nombre de x (ou de y) sur chaque ligne.
Ici j’ai 2x et -3x, donc je multiplie la première ligné par 3 et la second par -2 pour obtenir 6x et 6x.

⇔
{ 6x – 9y + 18 = 0
{ 6x + 4y – 34 = 0

Ensuite, j’isole les x à gauche et j’envoie le reste à droite du égal.

⇔
{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Comme 6x = 6x, cela veut dire que 9y – 18 = -4y + 34.

⇔
{ 9y – 18 = -4y + 34
{ 6x = 9y – 18
{ 6x = -4y + 34

Du coup, je résous cette équation.
9y – 18 = -4y + 34 équivaut à 13y = 52 et donc y = 4 (en divisant par 13).

Revenons au système :
⇔
{ y = 4
{ 6x = 9 × 4 – 18 = 18
{ 6x = -4 × 4 + 34 = 18

⇔
{ y = 4
{ x = 18/6 = 3.

⇔
Le point d’intersection I a pour coordonnées (3 ; 4).

8) Équation cartésienne de la droite (d ‘ ‘) :

Rédaction :

Lorsqu’on veut une droite parallèle, il suffit de garder le même « a » et le même « b ».

Comme (d) a pour équation 2x – 3y + 6 = 0,
on peut aussi choisir 2 et -3 pour (d ‘ ‘).
Du coup, (d ‘ ‘) a pour équation 2x – 3y + c = 0.
Pour déterminer le c, on peut remplacer par un point de la droite, ici A(1 ; 7).

Donc 2 × 1 – 3 × 7 + c = 0.
⇔ 2 – 21 + c = 0.
⇔ -19 + c = 0
⇔ c = 19
L’équation de (d ‘ ‘) est donc 2x – 3y + 19 = 0.

Je trace la parallèle à (d) passant par A.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) On a u_n = 1 + 3 + … + (2n + 1)
et u_n+1 = 1 + 3 + … + (2n + 1) + (2(n+1) + 1) car on ajoute le dernier élément en « n+1 » à u_n pour obtenir u_n+1.

Comme la première partie 1 + 3 + … + (2n + 1) vaut u_n, on obtient donc :
u_n+1 = u_n + (2(n+1) + 1)
= u_n + 2n + 2 + 1 (en développant)
= u_n + 2n + 3.

Voici donc la relation de récurrence qui donne u_n+1 en fonction de u_n :
u_n+1 = u_n + 2n + 3.

2) En utilisant la formule de récurrence de usub>n+1 de la question 1).

u₀ = 2 × 0 + 1 = 1.
u₁0 + 2 × 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
u₂1 + 2 × 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9.
u₃2 + 2 × 3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16.
u₄3 + 2 × 4 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25.

3) En regardant les résultats de u₀, u₁, u₂, u₃ et u₄, on s’aperçoit que ça fait 1, 4, 9, 16, et 25 qui sont les carrés de 1, 2, 3, 4 et 5.
Pour n = 0, u₀ = carré de 1.
Pour n = 1, u₁ = carré de 2.
Pour n = 2, u₂ = carré de 3.
Pour n = 3, u₃ = carré de 4.
Pour n = 4, u₄ = carré de 5.

Il y a un décalage de +1 entre l’indice et le nombre qui est mis au carré (pour n=4, c’est le carré de (4+1)).

Donc je conjecture que u_n = (n + 1)².

4) Je cherche à montrer que, pour tout n entier naturel, la propriété :
u_n = (n + 1)².

Initialisation :

D’après la question 2), on a bien u₀ = 1 = (0 + 1)².

Hérédité :

Je suppose, qu’à un rang k donné (k entier naturel), la propriété est vraie. On a donc u_k = (k + 1)².

Je dois montrer que la propriété est vraie au rang k+1, c’est à dire que u_k+1 = (k+1 + 1)².

J’utilise la donnée principale de l’exercice qui est la relation entre u_k+1 et u_k soit :
u_k+1 = u_k + 2k + 3
= (k + 1)² + 2k + 3 (en utilisant la propriété vraie au rang k)
= k² + 2 × k × 1 + 1² + 2k + 3
= k² + 4k + 4
= k² + 4k + 2² (en S, on doit toujours penser que 4 = 2² et que 8 = 2³)
= (k + 2)² (c’est la factorisation de a² + 2ab + b²)
= (k+1 + 1)².
La propriété est donc vraie au rang k+1. Donc l’hérédité est prouvée.

Conclusion :

Comme l’initialisation et l’hérédité sont prouvées, la propriété u_n = (n + 1)² est vraie pour tout n.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

f est une fonction du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0.

1) a > 0 et Δ < 0 :
a > 0 signifie que l’ambiance « a » ou l’atmosphère « a » est positive. Du coup, tout le monde sourit et la parabole aussi. Elle est donc ouverte vers le haut et la fonction admet un minimum. Elle ne peut donc pas avoir un maximum.

Faux.

2) a < 0 et Δ = 0 :
a < 0 signifie que l’ambiance « a » ou l’atmosphère « a » est négative. Du coup, personne ne sourit et la parabole ne sourit pas. Elle est donc ouverte vers le bas et la fonction admet un maximum.
C’est cohérent.

Quand Δ = 0, cela signifie qu’il n’y a qu’un seul point de contact entre la parabole et l’axe de abscisses : c’est le minimum ou le maximum qui vaut 0. Comme la fonction admet un maximum en 0, c’est cohérent.

Exact.

3) a < 0 et Δ < 0 :
a < 0 signifie que l’ambiance « a » ou l’atmosphère « a » est négative. Du coup, personne ne sourit et la parabole ne sourit pas. Elle est donc ouverte vers le bas et la fonction admet un maximum.

Quand Δ < 0, la parabole ne touche jamais l’axe des abscisses, dont le maximum ne peut pas être égal à zéro car cela signifierait que la parabole touche l’axe des abscisse en son maximum.

Faux.

4) La courbe représentative de la fonction f coupe l’axe des abscisses en deux points :

Pour qu’une parabole coupe l’axe des abscisses en deux points, il est nécessaire que Delta > 0 c’est à dire que le maximum (ou le minimum) soit différent de 0. Ce qui n’est pas le cas.

Faux.

5) L’équation f(x) = 0 admet une seule solution :

Un maximum ou un minimum en zéro indique que la parabole est posée sur l’axe des abscisses en un unique point (dans le cas d’un a > 0), ou touche l’axe des abscisses en mode « plafond » en un unique point (dans le cas d’un a < 0). Du coup, il n’y a qu’une seule solution à f(x) = 0 et c’est x = ^-b/_2a.

Exact.

6) À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant (énoncé), associer à chaque fonction sa courbe représentative (énoncé) :

C1 coupe deux fois l’axe des abscisses (donc D > 0) et ne sourit pas, elle est donc ouverte vers le bas (donc a < 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f4.

C2 ne touche pas l’axe des abscisses (donc D < 0) et sourit, elle est donc ouverte vers le haut (donc a > 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f1.

C3 coupe deux fois l’axe des abscisses (donc D > 0) et sourit, elle est donc ouverte vers le haut (donc a > 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f2.

C4 touche une seule fois l’axe des abscisses (donc D = 0) et ne sourit pas, elle est donc ouverte vers le bas (donc a < 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f3.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Je fais les calculs un par un à la calculette (ou avec le tableur). Puis je complète le tableau de la fonction
C(x) = x² + 20x + 900.

2) Je trace la représentation graphique de la fonction C en prenant 1 cm pour 10 unités en abscisses et 1 cm pour 1000 euros en ordonnées.

3) Pour calculer la recette R(x) obtenue avec la vente de x cartes (120 euros chacune), on fait la formule suivante :

Recette = Prix_unitaire × Quantité
Donc R(x) = 120 × x.

R(x) est une fonction affine. Pour tracer cette droite, je choisis moi-même deux valeurs x car il faut deux points pour tracer une droite.

Je choisis x = 20 et x = 80.

Pour x = 20,
y= R(10) = 120 × 20 = 2400.
Je dessine A(20 ; 2400).

Pour x = 80,
y= R(90) = 120 × 80 = 9600.
Je dessine B(80 ; 9600).

La droite représentant la recette passe toujours par l’origine. On le vérifie ici.

4) Pour exprimer le bénéfice B(x), on utilise la formule :

Donc B(x) = 120x – ( x² + 20x + 900 )
= 120x – x² – 20x – 900
Du coup, B(x) = – x² + 100x – 900.

5) La production est rentable si et seulement si le bénéfice est positif.
Etudions le signe de B(x) en faisant un tableau de signe.

Comme nous avons une fonction du second degré, calculons le discriminant Δ :

Δ = b² – 4ac
= 100² – 4 × (-1) × (-900)
= 10000 – 3600
= 6400 > 0.

On obtient donc deux racines :

x1 = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-100 – √6400)}/_{(2 × (-1))}
= ^{(-100 – 80)}/_(-2)
= ^(-180)/_(-2)
= 90.

x2 = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-100 + √6400)}/_{(2 × (-1))}
= ^{(-100 + 80)}/_(-2)
= ^(-20)/_(-2)
= 10.

Comme a vaut -1, il est donc négatif. Comme Δ > 0, la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses et on aura des changements de signe.
Comme a est positif, la parabole est souriante donc le signe du polynôme du second degré est d’abord positif, puis négatif, puis positif.

Voici le tableau de signe :

B(x) est positif sur [10 ; 90] donc la production est rentable pour x allant 10 à 90 unités.

6) Pour vérifier graphiquement quand la production est rentable, je sélectionne le ou les morceau(x) de courbe quand la recette est supérieure au coût, c’est à dire quand la droite de la recette est au dessus de la parabole du coût.
Puis je descends verticalement vers l’axe des abscisses pour sélectionner le bon intervalle de production.

La zone entre la courbe du coût et la droite de la recette représente le bénéfice. Plus l’écart entre les deux courbes est important, plus le bénéfice est important.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

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Tout le corrigé :

Donnée : P et P’ sont deux plans, d une droite de P et d’ une droite de P’.

1) Si P et P’ sont parallèles alors :

D’après le dessin, on peut avoir des droites non parallèles.
Si P et P’ sont confondues, les droites sont coplanaires.
Donc la réponse est : « on ne peut pas préciser la position relative de d et d' ».

2) Si d et d’ sont parallèles et si P et P’ sont sécants suivant une droite D alors :

C’est le théorème du toit, si deux droites de deux plans sécants sont parallèles, l’intersection de ces plans est une droite parallèle aux deux droites initiale.

Donc d, d’ et D sont parallèles.
Elles ne sont pas concourantes car ici elles ne se coupent pas.
Elles ne sont pas dans le même plan, donc elle ne sont pas coplanaires.

3) Si d et d’ sont sécantes et si P et P’ sont sécants suivant une droite D alors :

d et d’ ne peuvent pas être parallèles vu qu’elles sont sécantes. De plus, les trois droites ne sont pas coplanaires car ni parallèles, ni dans des plans confondus.

Par contre, comme d et d’ sont sécantes, elles se coupent à l’intersection des deux plans P et P’, donc sur D. Les trois droites sont concourantes.

Données : ABCDEFGH est un cube. On note I, J, K et L les milieux respectifs des arêtes [AB], [GC], [BF]. Soit P le centre de la face EFGH.

4) Les droites (IJ) et (KB) sont-elles :

Feuille 1 : Clic droit vers le corrigé
Feuille 2 : Clic droit vers le corrigé
Feuille 3 : Clic droit vers le corrigé
Feuille 4 : Clic droit vers le corrigé

5) La droite (KB) est-elle :

Déjà (AI) appartient à ce plan (AIJ). Donc B, étant sur (AI), on peut appeler (AI) la droite (AB). Donc le plan (AIJ), c’est la même chose que le plan (ABJ).

B est dans (ABJ) donc la droite (KB) ne peut pas être strictement parallèle à (ABG)=(AIJ).
K n’est pas dans (ABJ) donc la droite (KB) ne peut pas être incluse dans le plan.
K n’est pas dans le plan, B l’est, donc (KB) est sécante au plan (ABG)=(AIJ) en B.

6) Le plan (EBK) coupe la face CDHG suivant quelle droite ?

La droite (EK) est sur incluse dans le plan (EBK), du coup (EH) aussi car c’est un prolongement de (EK). (EBH) est le même plan que (EBK).

En B, on peut prolonger le plan avec une droite parallèle à (EH). (BC) est parallèle à (EH). Donc le plan (EBH) peut être prolongé suivant (BC). Il devient (EBCH).

(CH) appartient au plan. (CH) appartient aussi à la face (CGHD). Donc les plans se coupent en (CH).
Conclusion : (EBK) coupent (CGHD) en (HC).

7) Le plan (PLJ) coupe la face ABCD suivant une droite parallèle à quelle droite ?

Je trace le triangle plan (PLJ). Je peux prolonger ce plan à partir du point P en prenant une parallèle à (LJ). Sur le dessin ci-dessous, en suivant les flèches vertes j’arrive sur deux points sur les arêtes qui permettent de dessiner le plan en rectangle.

On cherche les intersections du plan rectangle vert avec le plan au sol ABCD.

La première astuce est de prolonger le plan ABCD vers la droite en rallongeant les droites (AB) et (DC).

Pour trouver une droite d’intersection entre deux plans, il est utile de trouver deux points d’intersection et les relier.

Pour trouver un point d’intersection, une bonne idée est de choisir une face et de faire croiser deux droites sécantes : l’une appartenant à un plan, et l’autre appartenant à l’autre plan.

Dans notre cube, on a une droite verte et la droite (AB) au sol qui sont sur le plan de devant (la face ABFE). Si on prolonge la droite verte, on trouve le point d’intersection (rouge) avec (AB). C’est un point d’intersection des deux plans.

De même pour la face arrière DCHG, on prolonge la droite du plan vert qui va couper (DC). On note ce point en rouge qui est un second point d’intersection de (PLJ) avec (ABCD).

En reliant ces deux points rouges, on trouve la droite d’intersection de (PLJ) et (ABCD). Elle est parallèle à (LJ) et pas aux deux autres droites.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Exercice : Clic droit vers l’exercice.

Tout le corrigé :

1) Montrer que u₀ = 50 et u_n+1 = 0,95u_n + 3 :

Rédaction :

En 2010, la forêt contient 50 milliers d’arbres et c’est l’année (2010 + 0). Donc cela compte pour n = 0. Du coup, u₀ = 50.

A l’étape n (l’année 2010+n), on prend le nombre d’arbres, on en enlève 5%. Du coup, on multiplie le nombre actuel u_n par le coefficient multiplicateur 1-⁵/₁₀₀ = 0,95. On obtient u_n×0,95. Puis on fait repousser les 3 milliers : u_n×0,95 + 3 qui donne le nombre d’arbres l’année suivante soit u_n+1.
Donc pour tout n, u_n+1 = u_n×0,95 + 3.

2) Calculer u₁. Combien d’arbres comptera la forêt en 2011 :

Rédaction:

u₁ = u₀×0,95 + 3
= 50 × 0,95 + 3
= 47,5 + 3
= 50,5.

La forêt comptera 50500 arbres en 2011.

3) Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,95 :

Rédaction :

Pour montrer que la suite (v_n) géométrique, je dois montrer que pour tout n,
v_n+1 = quelquechose × v_n
donc je commence par calculer :

Pour tout n, v_n+1 = 60 − u_n+1 (avec la nouvelle formule de v_n appliquée à n+1)
= 60 − (u_n×0,95 + 3) (en remplaçant u_n+1 par sa formule récurrente)
= 60 – u_n×0,95 – 3 (en distribuant le « moins- » sur chaque élément de la parenthèse enlevée)
= 57 – u_n×0,95
(L’astuce est maintenant de factoriser par le coefficient qui multiplie u_n.)

= 0,95 × (⁵⁷/_0,95 – u_n)
= 0,95 × (60 – u_n) (on retrouve la formule de v_n)
= 0,95 × v_n

Donc pour tout n, v_n+1 = 0,95 × v_n.

(Hors-rédaction : la phrase officielle)
Il existe q ∈ R (q = 0,95) tel que :
pour tout n ∈ N, v_n+1 = q × v_n,
donc (v_n) est une suite géométrique de raison q = 0,95
et de premier terme v₀ = 60 – u₀ = 60 – 50 = 10.

4) Calculer v₀. Déterminer v_n en fonction de n :

Rédaction :

J’ai calculé v₀ de manière spontanée dans la question 3).
v₀ = 10.

Lorsqu’on a le premier terme v_p et la raison q, la formule d’une suite géométrique est :

Ici, p = 0, v_p = v₀ = 10 et q = 0,95.
Donc pour tout n, v_n = 10 × 0,95ⁿ (car n-0 = n).

5) Démontrer que u_n = 60 − 10 × (0,95)ⁿ :

Rédaction :

D’après l’énoncé, v_n = 60 − u_n.
Donc v_n – 60 = −u_n (en soustrayant par 60)
-v_n + 60 = +u_n (en multipliant tout par (-1) pour enlever le « moins- » devant u_n).

Du coup, pour tout n,
u_n = 60 – v_n
= 60 – 10 × 0,95ⁿ.

6) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015 :

Rédaction :

2015 c’est 2010+5, donc c’est pour n = 5.
Le nombre d’arbres est u₅
= 60 – 10 × 0,95⁵
= 60 – 10 × 0,7737809375
= 60 – 7,737809375
= 52,262190625 milliers. Soit 52262 arbres en 2015.

7) Vérifier que u_n+1 − u_n = 0,5 × (0,95)ⁿ :

Rédaction :

Pour tout n,
u_n+1 − u_n
= 60 – 10 × 0,95ⁿ⁺¹ – (60 – 10 × 0,95ⁿ)
= 60 – 10 × 0,95ⁿ×0,95¹ – 60 + 10 × 0,95ⁿ
(formule des puissances et en enlevant les parenthèses derrière le « moins-« )
= 10 × (-0,95ⁿ×0,95¹ + 0,95ⁿ)
= 10 × (-0,95ⁿ×0,95¹ + 0,95ⁿ×1)
= 10 × (0,95ⁿ × (-0,95¹ + 1))
(en factorisant par 0,95 dans la parenthèse)
= 10 × (0,95ⁿ × (0,05))
= 0,5 ×0,95ⁿ

8) En déduire la monotonie de la suite:

Rédaction :

Pour étudier si une suite est croissante ou décroissante, on détermine le signe de :

Ici pour tout n,
u_n+1 − u_n
= 0,5 ×0,95ⁿ
0,5 est strictement positif et 0,95ⁿ est strictement positif, donc le produit est strictement positif.
Du coup, u_n+1 − u_n > 0, donc la suite (u_n) est strictement croissante.

9) Déterminer la limite de (u_n). Interpréter :

Rédaction :

lim _{[n → +∞]} 0,95ⁿ = 0 car 0 < q < 1 (q = 0,95)

Par produit, lim _{[n → +∞]} -10×0,95ⁿ = 0 (car -10×0 = 0)

Par somme, lim _{[n → +∞]} (60 – 10×0,95ⁿ) = 60 (car 60 + 0 = 0).

Donc la limite de u_n est 60 et à long terme la forêt contiendra 60 milliers d’arbres.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland