Produits scalaires – Rectangle, triangle, angle – Première

mars 28th, 2022

Category: Première, Vecteur et Produits Scalaires

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Exercice de maths de première sur le produit scalaire avec triangle, rectangle, vecteurs, géométrie du plan, calcul, angle, cosinus.

Exercice N°022 :

ABCD est un rectangle, I est un point [DC] défini comme l’indique la figure ci-dessous.

Figure, produits scalaires, rectangle, triangle, angle, première

1) Démontrer que
(ID + DA).(IC + CB) = ID.IC+ DA2.

2) Calculer les longueurs AI et BI.

En déduire que :
IA.IB = 6 et que cos(A^IB) = 1/√5
Le petit chapeau « ^ » devant I veut dire « angle ». L’angle ^I.

3) Donner la mesure de l’angle A^IB en degrés à 0,1 degré près.

Partie indépendante non corrigée :

E, F et G sont trois points tels que EF = 5 et EG = 8.

4) Est-il possible d’avoir EF.EG = 60 ?

On prend maintenant EF.EG = 20 dans les questions suivantes.

5) Quelle est la valeur de l’angle F^EG ?

6) Calculer FG.

7) Calculer les produits scalaires FE.FG et GE.GF.

8) Quelle est l’aire du triangle EFG ?

9) Montrer que pour tout point M du plan, on a l’égalité :
ME.FG + MF.GE + MG.EF = 0.

10) En déduire que les trois hauteurs du triangle EFG sont concourantes. On pourra appeler H le point d’intersection de deux hauteurs et montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur. Ceci est valable pour tous les triangles.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Mots-clés de l’exercice : produit scalaire, triangle rectangle.

Exercice précédent : Probabilités – Des candidats répondent aux questions – Première

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