Exercice de maths de première sur le produit scalaire avec triangle, rectangle, vecteurs, géométrie du plan, calcul, angle, cosinus.
Exercice N°022 :
ABCD est un rectangle, I est un point [DC] défini comme l’indique la figure ci-dessous.
1) Démontrer que
(→ID + →DA).(→IC + →CB) = →ID.→IC+ DA2.
2) Calculer les longueurs AI et BI.
En déduire que :
→IA.→IB = 6 et que cos(A^IB) = 1/√5
Le petit chapeau « ^ » devant I veut dire « angle ». L’angle ^I.
3) Donner la mesure de l’angle A^IB en degrés à 0,1 degré près.
Partie indépendante non corrigée :
E, F et G sont trois points tels que EF = 5 et EG = 8.
4) Est-il possible d’avoir →EF.→EG = 60 ?
On prend maintenant →EF.→EG = 20 dans les questions suivantes.
5) Quelle est la valeur de l’angle F^EG ?
6) Calculer FG.
7) Calculer les produits scalaires →FE.→FG et →GE.→GF.
8) Quelle est l’aire du triangle EFG ?
9) Montrer que pour tout point M du plan, on a l’égalité :
→ME.→FG + →MF.→GE + →MG.→EF = 0.
10) En déduire que les trois hauteurs du triangle EFG sont concourantes. On pourra appeler H le point d’intersection de deux hauteurs et montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur. Ceci est valable pour tous les triangles.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : produit scalaire, triangle rectangle.
Exercice précédent : Probabilités – Des candidats répondent aux questions – Première
