Maths de terminale sur les lois de probabilité, exercice, intégrale, normale centrée réduite, formule de, parité, limite, variation..
Exercice N°446 :
Exercice N°446 :
Un peu difficile, à faire en dernier :
La fonction f est définie sur R par :
f(x) = 1/√(2π) × e–x2/2.
Il est rappelé que f est la fonction densité de la loi normale centrée, réduite, d’espérance 0 et d’écart-type 1.
Z est la variable aléatoire associée à N(0, 1).
On rappelle que :
f est paire,
∫[de -∞ à +∞] f(t)dt
= lim[x → -∞] ( ∫[de x à 0] f(t)dt ) + lim[x → +∞] ( ∫[de 0 à x] f(t)dt )
= 1.
Soit G la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
G(x) = ∫[de 0 à x] f(t)dt.
1) Justifier que G admet 1/2 pour limite en +∞.
2) Étudier les variations de G sur [0 ; +∞[.
3) Soit α ∈ ]0 ; 1]. Justifier qu’il existe un unique réel positif uα tel que
G(uα) = (1 − α)/2.
4) En déduire la probabilité que Z ∈ [−uα ; uα].
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, intégrale, centrée, réduite..
Exercice précédent : Lois continues – Exponentielle, paramètre lambda, temps – Terminale
