Dérivation – Racine carrée, tableau de variation, position relative – Première

août 23rd, 2022

Category: Dérivées et Intégrales, Première

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Maths de première : exercice de dérivation sur la racine carrée avec tableau de variation, équation de tangente, position relative.

Exercice N°810 :

Exercice, dérivation, racine carrée, tableau de variation, première

Exercice N°810 :

Soit f la fonction « racine carrée » définie sur l’intervalle [0; +∞[ par l’expression :
f(x) = √x.
On appelle C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j).

1) Expliquer pourquoi la fonction f n’est pas dérivable en la valeur 0.

2) Après avoir donnée le domaine de dérivabilité de la fonction f, donner la fonction dérivée f ‘(x).

3) Étudier les variations de la fonction f sur son domaine de définition en faisant un tableau de variation.

4) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 4.

5) Tracer la courbe C sur l’intervalle [0 ; 10] ainsi que sa tangente T.

Le graphique précédent montre que la courbe C se trouve en dessous de la droite T. On se propose de démontrer de deux façons cette constatation dans les deux méthodes suivantes.

Première méthode de démonstration :

Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ par :
g(x) = √x – (1/4)x – 1.

6) Après avoir donnée le domaine de dérivabilité de la fonction g, donner la fonction dérivée g ‘(x).

7) Étudier les variations de g sur son domaine de définition.

8) Déduire de la question 7) que g(x) ≤ 0 pour tout x de [0; +∞[.

9) Démontrer que la courbe C est en dessous de la tangente T.

Seconde méthode de démonstration :

10) Développer l’expression (√x/2 − 1)2.

11) Utiliser le résultat de la question 10) pour montrer que la courbe C est en dessous de la tangente T.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, dérivation, racine carrée.

Exercice précédent : Dérivation – Fonction rationnelle, tableau de variation, courbe – Première

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