Maths de première : exercice de dérivation sur la racine carrée avec tableau de variation, équation de tangente, position relative.
Exercice N°810 :
Exercice N°810 :
Soit f la fonction “racine carrée” définie sur l’intervalle [0; +∞[ par l’expression :
f(x) = √x.
On appelle C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; →i ; →j).
1) Expliquer pourquoi la fonction f n’est pas dérivable en la valeur 0.
2) Après avoir donnée le domaine de dérivabilité de la fonction f, donner la fonction dérivée f ‘(x).
3) Étudier les variations de la fonction f sur son domaine de définition en faisant un tableau de variation.
4) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 4.
5) Tracer la courbe C sur l’intervalle [0 ; 10] ainsi que sa tangente T.
Le graphique précédent montre que la courbe C se trouve en dessous de la droite T. On se propose de démontrer de deux façons cette constatation dans les deux méthodes suivantes.
Première méthode de démonstration :
Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ par :
g(x) = √x – (1/4)x – 1.
6) Après avoir donnée le domaine de dérivabilité de la fonction g, donner la fonction dérivée g ‘(x).
7) Étudier les variations de g sur son domaine de définition.
8) Déduire de la question 7) que g(x) ≤ 0 pour tout x de [0; +∞[.
9) Démontrer que la courbe C est en dessous de la tangente T.
Seconde méthode de démonstration :
10) Développer l’expression (√x/2 − 1)2.
11) Utiliser le résultat de la question 10) pour montrer que la courbe C est en dessous de la tangente T.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, dérivation, racine carrée.
Exercice précédent : Dérivation – Fonction rationnelle, tableau de variation, courbe – Première
