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Tout le corrigé :
1) L’aire du triangle AEF est égale à la moitié de l’aire du triangle ABC.
Cela revient à :
AireAEF = (1/2) × AireABC
Les triangles sont rectangles en A donc le Base × Hauteur × (1/2) devient :
Côté1 × Côté2 × (1/2) en prenant les deux côtés auprès de l’angle droit.
AF × AE × (1/2) = (1/2) × AC × AB × (1/2)
⇔ AF × AE = (1/2) × AC × AB (en multipliant par 2 de chaque côté du “=”).
⇔ x × (18 – x) = (1/2) × 8 × 18
⇔ -x2 + 18x – 72 = 0.
Nous avons une équation du second degré, calculer le discriminant est utile :
Δ = 182 – 4 × (-1) × (-72)
= 324 – 288 = 36 > 0.
x1 = (-b – √Δ)/2a
= (-18 – √36)/-2
= (-18 – 6)/-2
= (-24)/-2 = 12.
x2 = (-18 + 6)/-2
= (-12)/-2 = 6.
x ne peut pas être égal à 12 car il ne peut pas dépasser AC = 8 car F ne peut pas aller au-dessus de C.
Donc x = 6.
2) 2x² + 9x − 5 :
La forme canonique d’une fonction polynôme s’écrit :
a(x – xSommet)2 + ySommet
xSommet = -b/2a
= -9/4
ySommet = -Δ/4a
= -(81 – 4*2*(-5))/8
= -(121)/8
Donc f(x) = 2(x – (-9/4))2 + (-121/8).
3) Comme un carré est toujours positif ou nul,
2(x – (-9/4))2 l’est toujours car le facteur 2 est aussi positif donc produit positif.
Donc f(x) est toujours plus grand ou égal à -121/8.
4) −2x2 − 16x − 32 = 0 :
Il n’y a que des “moins” donc je multiplie tout par (-1).
2x2 + 16x + 32 = 0
Je calcule le discriminant Δ car nous avons affaire à un polynôme du second degré.
Δ = b2 – 4ac
= 16 × 16 – 4 × 2 × 32
= 256 – 256 = 0.
On a donc une racine double x1
= -b/2a
= -16/4 = -4.
et x2 = -b/2a
= -4 aussi.
S = {-4}.
5) 4/(x − 1) − 3/(x − 2) = −1 :
On a une égalité avec des fractions, on passe tout à gauche et on met au même dénominateur.
4/(x − 1) − 3/(x − 2) + 1 = 0
Je choisis (x-1)(x-2) comme dénominateur.
⇔ 4(x – 2)/(x − 1)(x − 2) − 3(x – 1)/(x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 2)/(x − 1)(x − 2) = 0
⇔ [ 4(x – 2) − 3(x – 1) + (x − 1)(x − 2) ]/(x − 1)(x − 2) = 0
Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul. On obtient donc :
4(x – 2) − 3(x – 1) + (x − 1)(x − 2) = 0
⇔ 4x – 8 -[3x – 3] + x2 – 2x – x + 2 = 0
⇔ 4x – 8 – 3x + 3 + x2 – 3x + 2 = 0
⇔ x2 – 2x – 3 = 0
On calcule le discriminant :
Δ = b2 – 4ac = (-2) × (-2) – 4 × 1 × (-3)
= 4 + 12 = 16 > 0.
Deux racines, c’est à dire x1 et x2 qui font que le trinôme fait 0, soit deux solutions ici.
x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-(-2) – √16)/2
= (2 – 4)/2
= (-2)/2
= -1.
x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-(-2) + √16)/2
= (2 + 4)/2
= 6/2
= 3.
On obtient S = {-1 ; 3}.
6) 6x² − 13x + 6 > 0 :
Pour résoudre une inéquation avec 0 à droite, il faut faire un tableau de signe.
Là, on a un polynôme du second degré donc je fais Delta.
Δ = b2 – 4ac = (-13) × (-13) – 4 × 6 × 6
= 169 – 144 = 25 > 0.
On obtient deux racines, c’est à dire x1 et x2 qui font que le trinôme fait 0.
x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (13 – √25)/12
= (13 – 5)/12
= (8)/12
= 2/3,
x2 = (13 + 5)/12
= (18)/12
= 3/2.
On se retrouve avec un tableau de signe avec les racines 2/3 puis 3/2 :
x : -∞ 2/3 3/2 +∞
Les zéros sont en dessous des deux racines et comme le signe de a est positif (6), le signe de a étant à l’extérieur des racines,
on obtient le tableau de signe de 6x² − 13x + 6 : + 0 – 0 + c’est-à-dire d’abord positif, puis zéro, puis négatif, puis zéro, puis positif.
Comme on veut que le trinôme soit > 0, on ne garde que les + soit :
S = ]-∞ ; 2/3[ U ]3/2 ; +∞[.
7) Pour résoudre une inégalité avec 0 à droite,
on doit faire un tableau de signe. On gardera les 0 car l’égalité est large. Et on veut des “moins”.
On calcule le discriminant :
Δ = 2 × 2 – 4 × (-3) × (-1) = 4 – 12 = -8 < 0.
Comme Δ est strictement négatif, il n’y a pas de racine et le trinôme est toujours du signe de a (soit -3) donc il est négatif.
Dans le tableau de signe de −3x2 + 2x − 1, on met un grand “moins” de -∞ à +∞.
Donc S = R car la question demande que ce trinôme soit inférieur ou égal à zéro et c’est toujours le cas.
