Suites – Géométrique, limite, variation, algorithme – Terminale

juin 20th, 2020

Category: Algorithmique, Limites, Suites, Terminale

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Exercice N°192 :

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Exercice N°192 :

1) On considère l’algorithme suivant : les variables sont le réel U et les entiers k et N. Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?

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On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 3un – 2n + 3.

2) Calculer u1 et u2.

3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un ≥ n.

4) En déduire la limite de la suite (un).

5) Démontrer que la suite (un) est croissante.

Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par

vn = un − n + 1.

6) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.

7) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n + n − 1.

Soit p un entier naturel non nul.
8) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier N tel que,
pour tout n ≥ N , un ≥ 10p ?

On s’intéresse maintenant au plus petit entier N.
9) Justifier que N ≤ 3p.

10) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, cet entier N pour la valeur p = 3.

11) Compléter les deux lignes de l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie, pour une valeur de p donnée en entrée, la valeur du plus petit entier N tel que, pour tout n ≥ N, on ait
un ≥ 10p.

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Bon courage,
Sylvain Jeuland

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