Suites – Fonction, récurrence, convergence, arithmétique – Terminale

novembre 28th, 2020

Category: Fonctions, Suites, Terminale

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Maths : exercice avec suite arithmétique de terminale. Fonction, sens de variation, courbe, graphique, convergence, croissance, limite.

Exercice N°410 :

Exercice, suites, fonction, récurrence, convergence, arithmétique, terminale

Soit f la fonction définie sur [0 ; 2] par

f(x)= (x − 4)/(x − 3).

1) Étudier les variations de f. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 2],
f(x) ∈ [0 ; 2].

Soit (un) la suite définie par :
{ u0 = 0,
{ un+1 = f(un)
.

Sur le graphique ci-haut, on a représenté la courbe de f et la droite d’équation
y = x.
2) Placer u0 en abscisse, puis construire u1, u2 et u3 en laissant apparents les traits de construction.

3) Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (un) ?

4) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N,
un ∈ [0 ; 2].

5) Démontrer que (un) est croissante.

6) Démontrer que (un) est convergente.

On pose pour tout n ∈ N :
vn = 1/(un − 2).

7) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison −1.

8) Exprimer vn en fonction de n, puis un en fonction de n.

9) En déduire lim n→+∞ un.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Mots-clés de l’exercice : exercice, suite, arithmétique, terminale.

Exercice précédent : Suites – Récurrence, arithmétique, géométrique, raison – Terminale

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