Suites – Arithmétique, géométrique, algorithme – Terminale

juin 12th, 2020

Category: Algorithmique, Suites, Terminale

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Exercice N°210 :

Comparaison de suites, arithmétique, géométrique, terminale

Exercice N°210 :

Le client d’une banque a deux options pour placer ses économies :
Le placement U, à intérêts simples :
– Chaque année, le client verse 6000 euros sur ce compte (12 mensualités de 500 euros).
– A la fin de chaque année, le client reçoit des intérêts égaux à 5% du montant de son compte.
– Les intérêts sont versés sur un autre compte et donnés au client lorsqu’il ferme son placement U, en plus des sommes qu’il a versé. Ainsi, les intérêts d’une année ne contribuent pas à augmenter les intérêts de l’année suivante.

Le placement V, à intérêts composés :
– Chaque année, le client verse 6000 euros sur ce compte (12 mensualités de 500 euros).
– A l’issue de chaque année, l’épargnant gagne des intérêts équivalents à 4% du montant de son compte.
– Les intérêts sont versés sur le même compte. Ainsi, les intérêts d’une année contribuent à augmenter les intérêts de l’année suivante.

On note un le solde en euros du compte U à l’année n (à son ouverture, le compte est vide donc u0 = 0). On note in la somme contenue sur le compte servant à recevoir les intérêts du placement U à l’année n.
On note vn le solde en euros du compte V à l’année n (à son ouverture, v0 = 0).

1) Expliquer pourquoi, d’après l’énoncé, (un) est une suite arithmétique de raison 6000. En déduire une expression de un en fonction de n.

2) A l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi
in = 0,05(u1 + ··· + un).
En déduire que in = 150n(n + 1).

3) A l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi on a :
vn+1 = 1.04vn + 6240.

On définit pour tout n ∈ N la suite
wn = vn + 156000.
4) Démontrer que (wn) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme w0 = 156000.

5) En déduire une expression de wn puis de vn en fonction de n.

6) Expliquer pourquoi au bout de n années, les intérêts de ce placement sont donnés par
jn = 156000 x 1,04n − 156000 − 6000n.

Comparaison des deux placements. On utilise in et jn des questions précédentes.
7) Comparer i10 et j10. L’épargnant veut réaliser un placement sur dix ans. Lequel des deux modèles doit-il choisir ?

8) Pour un placement sur 20 ans, lequel des deux modèles faut-il choisir ?

9) L’algorithme suivant affiche 18. Comment interpréter ce résultat ?

Comparaison de suites, arithmétique, géométrique, algorithme, terminale, tant que

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Exercice précédent : Suites – Géométrique, arithmétique, limite, somme – Terminale

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