Second degré – Fonction, bénéfice, signe, variations – Première

octobre 4th, 2020

Category: Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première

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Exercice N°258 :

Second degré, fonction, bénéfice, signe, variations, première

Une entreprise fabrique un produit « Epsilon ». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15000 articles.
Le coût total, exprimé en milliers d’euros, de fabrication de x milliers d’articles est modélisé par la fonction C définie sur ]0 ; 15] par :
C(x) = 0,5x2 + 0,6x + 8,16.
La représentation graphique G de la fonction coût total est donnée ci-dessus.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8€.

1) Qu’est ce qui est plus avantageux pour l’entreprise : fabriquer et vendre 4000 articles ou fabriquer et vendre 12000 articles ?

On désigne par R(x) le montant en milliers d’euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d’articles du produit « Epsilon ».
On a donc R(x) = 8x.

2) Tracer dans le repère donné en annexe la courbe D représentative de la fonction recette.

3) Par lecture graphique déterminer :
– l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif ;
– la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d’euros, réalisé lorsque l’entreprise produit et vend x milliers d’articles.

4) Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d’euros, lorsque l’entreprise produit et vend x milliers d’articles, est donné par
B(x) = −0,5x2 + 7,4x − 8,16
avec x ∈ ]0 ; 15].

5) Étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).

6) Étudier les variations de la fonction B sur ]0 ; 15].
En déduire le nombre d’articles qu’il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euros, de ce bénéfice maximal ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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