Primitives – ROC, logarithme, fractions, intégrale – Terminale

janvier 29th, 2020

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Terminale

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Exercice N°461 :

Exercice, primitives, logarithme, fractions, intégrale, terminale, Toraja, Sulawesi

Exercice N°461 :

Soit g la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
g(x)= 1 + x2 − 2x2ln(x).

1) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [1 ; +∞[.

2) Calculer g(e). Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; e].
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−1.

3) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
f(x) = ln(x)/(1+x2).
On note f ‘ la fonction dérivée de f.

4) Calculer f ‘ (x) et montrer que pour tout x ≥ 1 on a :
f ‘ (x) = g(x)/(x(1 + x2)2).

5) Déduire des questions 1), 2), 3) le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.

6) Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; +∞[ on a :
0 ≤ f(x) ≤ ln(x)/x2.

7) En déduire lim [x →∞] f(x).

8) Montrer que f(α)= 1/α2 et dresser le tableau de variation complet de f.

9) Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
F(x) = (-1 – ln(x))/x
est une primitive de la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par ln(x)/x2.
En déduire que [de 1 à e] ln(x)/x2 dx = 1 – 2/e.

On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i,⃗ j) d’unité graphique 1 cm.
Soit A l’aire exprimée en cm2 du domaine compris entre la courbe Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e.
10) Déterminer un encadrement de A.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Primitives – Calculs, logarithme, intégrale, inégalités – Terminale

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