Maths de terminale : exercice sur loi normale et loi binomiale. Probabilités, espérance, moyenne, tableau, écart-type, variable aléatoire.
Exercice N°436 :
Exercice N°436 :
Une entreprise fabrique des pièces de tissu.
Les pièces de tissu produites doivent respecter des contraintes de qualité et doivent avoir une masse au mètre carré comprise entre 1.45 kg et 1.55 kg.
Si ce n’est pas le cas, ces pièces de tissu présentent un défaut de fabrication.
Les résultats seront arrondis aux millièmes.
On notera M1 la machine fabricant ces pièces de tissu. On note X la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production, associe sa masse au mètre carré exprimée en kg.
X suit la loi normale d’espérance 1.5 et d’écart type 0.03.
1) Calculer la probabilité qu’une pièce prise au hasard dans la production de la machine M1 respecte la contrainte de fabrication.
Un grossiste vendant des pièces de tissus avec un léger défaut de fabrication achète à cette entreprise les pièces de tissu ayant un défaut mais dont la masse au mètre carré est comprise entre 1.3 kg et 1.6 kg.
2) Si la production de la journée est de 1000 pièces de tissu, quelle quantité de pièces de tissu ce grossiste pourra-t-il acheter à l’entreprise ?
Pour diversifier sa production, l’entreprise investit dans une seconde machine permettant de couper les pièces de tissu en carrés de 2 mètres de côté. On notera cette machine M2.
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production associe la mesure, en mètres, du côté des carrés découpés.
Y suit la loi normale normale d’espérance 2 et d’écart-type 0.02.
On considère que les pièces découpées sont conformes si les côtés de ces pièces de tissu mesurent entre 1.95 m et 2.02 m.
3) Calculer la probabilité que la pièce de tissu produite par la machine M2 soit conforme.
On considère les événements suivants :
A : ” la pièce de tissu fabriquée par la machine M1 a une masse au mètre carré comprise entre 1.45 kg et 1.55 kg”
B : ” la pièce de tissu fabriquée par la machine M2 est un carré dont le côté mesure entre 1.95 m et 2.02 m”
Les deux machines fonctionnent de manière totalement indépendante.
On prend une pièce au hasard dans la production.
4) Montrer que la probabilité que la pièce de tissu ne présente aucun défaut est alors de 0.755.
5) Montrer que la probabilité que la pièce présente un seul des deux défauts possibles (soit un défaut de poids, soit un défaut sur les dimensions) est 0.229.
La machine produit 1000 pièces de tissu de 2 mètres de côté par jour.
On note Z la variable aléatoire donnant le nombre de pièces de tissu carrées n’ayant aucun défaut parmi ces 1000 pièces.
6) Montrer que Z suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
7) Déterminer la probabilité qu’au moins 77 % des pièces produites ne présentent aucun défaut.
L’entreprise vend les pièces de tissu n’ayant aucun défaut au prix de x euros et celles qui ont un seul défaut (soit de poids, soit de dimensions) au prix de 10 euros et les autres pièces (ayant les deux défauts) sont vendues au prix de 5 euros.
On note P la variable aléatoire correspondant au prix de vente de chaque pièce de tissu.
8) Compléter le tableau de la loi de probabilité de P ci-dessous :
Rappel : l’entreprise produit chaque jour 1000 pièces de tissu carrées.
9) Exprimer l’espérance de la variable aléatoire P en fonction du prix de vente x et déterminer la valeur minimale de x, arrondie à l’euro près, pour que l’entreprise réalise un chiffre d’affaire journalier d’au moins 25000 euros.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, loi, normale, binomiale.
Exercice précédent : Lois continues – Courbe de gausse, normale, variables – Terminale
