Exercice de maths de terminale de logarithme népérien et étude de fonction. Dérivée, signe, variation, position relative, courbe, inéquation.
Exercice N°358 :
Exercice N°358 :
0) Rappeler la dérivée de u2 (où u est une fonction dérivable).
En déduire la dérivée de la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par :
h(x) = (ln x)2.
Soit f la fonction définie sur R+* par :
f(x) = (ln x)2 − 6ln x + 5.
1) Étudier f (sens de variation, limites en 0 et en +∞).
2) Calculer la dérivée seconde f ‘ ‘ de f.
3) Pour quelle valeur x0 de x l’égalité f ‘ ‘(x) = 0 est-elle vérifiée ?
4) Déterminer l’équation cartésienne de la tangente D à la courbe
représentative Cf de f au point M0 d’abscisse e4.
On considère la fonction g définie sur R+* par :
g(x) = (ln x)2 − 6ln x + 5 − (2/(e4)) x + 5
5) Calculer les dérivées première et seconde (g ‘ et g ‘ ‘) de g.
6) Étudier le sens de variation de g ‘ et en déduire le signe de g ‘(x).
7) Étudier le sens de variation de g et en déduire le signe de g(x).
8) En déduire la position relative de Cf et D.
9) Construire la courbe Cf lorsque x varie sur l’intervalle ]0 ; 150[.
On prendra un repère orthogonal en choisissant pour l’unité : 1 mm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
On construira les points d’abscisses en pour n entier.
10) Construire dans le même repère la droite D et préciser son point d’intersection T avec l’axe des ordonnées.
11) Résoudre algébriquement dans R l’inéquation :
f(x) > 0.
12) Résoudre graphiquement dans R l’inéquation :
f(x) ≤ −3.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : logarithme népérien, étude de fonction.
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Exponentielle, fonction, variation – Terminale
