Maths de terminale : exercice d’exponentielle, convexité, primitive. Graphique, dérivée, variation, point d’inflexion, position relative.
Exercice N°334 :
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur R.
La tangente D à la courbe C au point A(0 ; -4) passe par le point
B(2 ; -6).
1) Donner la valeur de f(0).
2) Justifier que f ‘ (0) = -1 (f ‘ désigne la fonction dérivée de f).
On admet qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x,
f(x) = (x + a) ebx.
3) Vérifier que : f ‘ (x) = (bx + ab + 1)ebx.
4) Utiliser les résultats précédents pour calculer les valeurs exactes des réels a et b.
On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x
par
f(x) = (x – 4)e0,5x.
5) Donner l’expression de f ‘ (x).
En déduire le sens de variation de la fonction f sur R.
(Ne pas faire les questions 6) et 7) en première.)
6) Calculer la dérivée seconde de f notée f ‘ ‘ et vérifier que
f ‘ ‘ (x) = 0,25xe0,5x.
7) Prouver que C a un unique point d’inflexion et déterminer ses coordonnées.
On considère la fonction g définie pour tout réel x par
g(x) = f(x) + x + 4.
On admet que la fonction g est croissante sur R.
8) Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x).
9) Déterminer la position de la courbe C par rapport à sa tangente T.
(Ne pas faire les questions 10) et 11) en première.)
10) Montrer que la fonction h définie par
h(x) = 2(x – 6)e0,5x
est une primitive de f.
11) Calculer ∫23 f(x)dx.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : exercice, exponentielle, convexité, primitive.
Exercice précédent : Exponentielle – Dérivée, signe, variation, tangente – Première
