Dérivation – Fonction, bénéfice, coût moyen, variation – Première

octobre 27th, 2019

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première

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Exercice N°294 :

Dérivation, fonction, bénéfice, coût moyen, variation, première, Toraja, Sulawesi

Exercice N°294 :

Une entreprise produit des appareils électroménagers.
Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par :
C(x) = x2 + 50x + 100
pour 5 ≤ x ≤ 100.

L’entreprise vend chaque appareil 100 euros.
1) Justifier que le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x appareils est :
B(x) = −x2 + 50x − 100
pour x ∈ [5 ; 100].

2) Calculer B ‘ (x) et étudier son signe ; en déduire le tableau de variations de B sur [5 ; 100].

3) Quel est le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire de l’entreprise soit maximal ?

Le coût moyen de production d’un objet est donné par :
CM(x) = C(x)/x
pour x ∈ [5 ; 100].

4) Justifier par un calcul que
CM(x) = x + 50 + 100/x.

5) Calculer CM ‘ (x) et vérifier que
CM ‘ (x) = (x2 − 100)/x2.

6) Étudier le signe de CM ‘ (x) et dresser le tableau de variations de CM
sur [5 ; 100].

7) Pour quelle valeur de x, le coût moyen est-il minimal ?

8) Le bénéfice est-il maximal quand le coût moyen est minimal ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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