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Tout le corrigé :
f est une fonction du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0.
1) a > 0 et Δ < 0 :
a > 0 signifie que l’ambiance “a” ou l’atmosphère “a” est positive. Du coup, tout le monde sourit et la parabole aussi. Elle est donc ouverte vers le haut et la fonction admet un minimum. Elle ne peut donc pas avoir un maximum.
Faux.
2) a < 0 et Δ = 0 :
a < 0 signifie que l’ambiance “a” ou l’atmosphère “a” est négative. Du coup, personne ne sourit et la parabole ne sourit pas. Elle est donc ouverte vers le bas et la fonction admet un maximum.
C’est cohérent.
Quand Δ = 0, cela signifie qu’il n’y a qu’un seul point de contact entre la parabole et l’axe de abscisses : c’est le minimum ou le maximum qui vaut 0. Comme la fonction admet un maximum en 0, c’est cohérent.
Exact.
3) a < 0 et Δ < 0 :
a < 0 signifie que l’ambiance “a” ou l’atmosphère “a” est négative. Du coup, personne ne sourit et la parabole ne sourit pas. Elle est donc ouverte vers le bas et la fonction admet un maximum.
Quand Δ < 0, la parabole ne touche jamais l’axe des abscisses, dont le maximum ne peut pas être égal à zéro car cela signifierait que la parabole touche l’axe des abscisse en son maximum.
Faux.
4) La courbe représentative de la fonction f coupe l’axe des abscisses en deux points :
Pour qu’une parabole coupe l’axe des abscisses en deux points, il est nécessaire que Delta > 0 c’est à dire que le maximum (ou le minimum) soit différent de 0. Ce qui n’est pas le cas.
Faux.
5) L’équation f(x) = 0 admet une seule solution :
Un maximum ou un minimum en zéro indique que la parabole est posée sur l’axe des abscisses en un unique point (dans le cas d’un a > 0), ou touche l’axe des abscisses en mode “plafond” en un unique point (dans le cas d’un a < 0). Du coup, il n’y a qu’une seule solution à f(x) = 0 et c’est x = -b/2a.
Exact.
6) À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant (énoncé), associer à chaque fonction sa courbe représentative (énoncé) :
C1 coupe deux fois l’axe des abscisses (donc D > 0) et ne sourit pas, elle est donc ouverte vers le bas (donc a < 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f4.
C2 ne touche pas l’axe des abscisses (donc D < 0) et sourit, elle est donc ouverte vers le haut (donc a > 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f1.
C3 coupe deux fois l’axe des abscisses (donc D > 0) et sourit, elle est donc ouverte vers le haut (donc a > 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f2.
C4 touche une seule fois l’axe des abscisses (donc D = 0) et ne sourit pas, elle est donc ouverte vers le bas (donc a < 0). Elle est la courbe représentative de la fonction f3.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
