Continuité – Fonction, variation, signe, solution unique – Terminale

octobre 11th, 2019

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Terminale

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Exercice N°398 :

Continuité, fonction, variation, signe, solution unique, terminale, Toraja, Sulawesi

Exercice N°398 :

Le nombre x ∈ [1 ; 20] désigne un prix en centaine d’euros.

La fonction f représente, en fonction du prix x de l’article, la demande des clients (la quantité d’articles qu’ils sont prêts à acheter à ce prix) . Elle est représentée en traits pleins.

La fonction g représente, en fonction du prix x d’un article, l’offre d’un vendeur (la quantité d’articles qu’il est prêt à vendre à ce prix). Elle est tracée en trait pointillés.

Continuité, fonction, variation, signe, solution unique, terminale, Toraja, Sulawesi

Par lecture graphique déterminer :

1) Les sens de variation respectifs de f et g sur l’intervalle [1 ; 20].

2) Pour un prix de 500€, le nombre de clients non satisfaits (qui n’ont pas pu acheter l’article faute de quantités vendues suffisantes). Expliquer brièvement.

3) Le prix d’équilibre α : prix pour lequel l’offre et la demande sont égales.

4) Le tableau de signes de f(x) − g(x) sur l’intervalle [1 ; 20].

5) Justifier par le calcul que g(x) = 200x + 2000 (on utilisera des points de la droite dont les coordonnées sont simples).

La fonction demande f est donnée pour x ∈ [1 ; 20] par
f(x) = 2x3 − 63x2 + 68x + 8000.
Pour tout x ∈ [1 ; 20], on pose
d(x) = f(x) − g(x).

6) Calculer d(5) et interpréter le résultat.

7) Montrer que d ‘ (x) = 6x2 − 126x − 132
pour x ∈ [1 ; 20] et dresser le tableau de variations de d sur l’intervalle [1 ; 20].

8) Démontrer que l’équation d(x) = 0 admet une solution unique
α ∈ [1 ; 20].

9) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 10−2 près, puis le prix d’équilibre à l’euro près ainsi que la quantité d’objets échangés à ce prix.

10) En déduire, le tableau de signes de d(x) (on justifiera l’ordre des signes) et la position relative des courbes représentatives de f et de g sur l’intervalle [1 ; 20].

On cherche à optimiser l’argent total (la recette) encaissé par les commerçants par la vente de l’article. On note R(x) cette somme en centaine d’euros.

11) Expliquer pourquoi, si x est le prix de l’article en centaine d’euros, on a
R(x) = xf(x).

12) A l’aide de la calculatrice et en choisissant une fenêtre adaptée, déterminer le prix, à l’euro près, qui maximise R(x).

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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