Complexes – Fonctions, ensembles, argument, droites – Terminale

mai 9th, 2020

Category: Complexes, Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale

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Maths : exercice de complexes avec fonction de terminale. Images, ensemble de points, droites, argument, parallélisme, figure, parallèles.

Exercice N°494 :

Exercice, complexes, fonctions, ensembles, argument, droites, terminale

Exercice N°494 :

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, u, v) d’unité graphique 3 cm.

A tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ‘ d’affixe z ‘ par l’application f qui admet pour écriture
complexe :
z ‘ = ((3 + 4i)z + 5 z)/6.

On considère les points A, B, C d’affixes respectives
zA = 1 + 2i,
zB = 1
et
zC = 3i.

1) Déterminer les affixes des points A ‘, B ‘, C ‘ images respectives de A, B, C par f. Placer les six points.

On pose z = x + iy (avec x et y réels).
2) Déterminer les parties réelle et imaginaire de z ‘ en fonction de x et y.

Question trace de recherche :

Un point M est dit invariant par l’application f, lorsque f(M) = M.

3) Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation
y = 1/2 x.
Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

Soit M un point quelconque du plan et M ‘ son image par f.

4) Montrer que M ‘ appartient à la droite (D).

5) Montrer que, pour tout nombre complexe z :
(z ‘ – z)/zA
est un nombre réel.

6) En déduire que, si M ‘ ≠ M, les droites (OA) et (MM ′) sont parallèles.

7) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N ′ ?
(on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).
Effectuer la construction sur la figure.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Complexes – Triangle, fonction, ensemble, alignés – Terminale

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